Estimation statistique

Comment définir et reconnaître un $n$-échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ associé à une variable $X$ ?

Vérifier que les variables sont indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de $X$.

Comment construire un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ d'un paramètre $g(\theta)$ ?

Choisir une fonction $\varphi$ indépendante de $\theta$ par heuristique (moyenne empirique, fréquence, méthode des moments).

Comment calculer l'estimation $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ obtenue à partir d'un échantillon observé ?

Substituer la réalisation $(x_1, \dots, x_n)$ dans la fonction de l'estimateur.

Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?

Calculer l'espérance de l'estimateur sous $P_\theta$ et vérifier l'égalité avec $g(\theta)$, ou exhiber le biais et corriger.

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?

Calculer les moments de la moyenne empirique et de la variance empirique d'un $n$-échantillon, et quantifier leur biais éventuel.

Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ?

Établir la convergence en probabilité d'un estimateur en vérifiant la convergence de son espérance et de sa variance.

Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?

Majorer $P(|T_n-g(\theta)|\geq \varepsilon)$ par une inégalité de concentration pour conclure à la convergence en probabilité.

Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

Construire un IC non asymptotique en partant de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à un estimateur.

Comment construire un intervalle de confiance du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli ?

Encadrer la proportion $p$ à partir d'un $n$-échantillon de Bernoulli via Bienaymé-Tchebychev ou via le théorème limite central.

Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?

Utiliser la loi exacte de $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ pour encadrer la moyenne $m$ à un niveau donné.

Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à l'aide du TLC ?

Appliquer le théorème limite central pour obtenir un IC asymptotique en standardisant un estimateur convergent.

Comment comparer deux estimateurs ou deux intervalles de confiance ?

Arbitrer entre deux estimateurs ou deux IC en confrontant biais, variance et demi-largeur au même niveau $1-\alpha$.