Chapitre 3 — Principes fondamentaux

Comment décomposer un ket dans une base orthonormée d'un espace de Hilbert ?

Exprimer un état quantique $|\psi\rangle$ comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ en calculant les coefficients par produit scalaire.

Comment calculer le produit scalaire hermitien $\langle\psi|\psi'\rangle$ entre deux kets en notation de Dirac ?

Évaluer $\langle\psi|\psi'\rangle$ à partir des décompositions des deux kets dans une base orthonormée ou via la représentation matricielle.

Comment passer d'un ket à son bra par transconjugaison ?

Obtenir le bra $\langle\psi|$ à partir du ket $|\psi\rangle$ en transposant le vecteur colonne et en conjuguant chaque composante.

Comment écrire et utiliser la relation de fermeture $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ ?

Formuler la relation de complétude d'une base orthonormée et l'insérer dans des expressions pour décomposer des kets ou des opérateurs.

Comment calculer les éléments de matrice $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ d'un opérateur dans une base ?

Déterminer la représentation matricielle d'un opérateur linéaire $\hat{A}$ dans une base orthonormée en calculant chaque élément $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$.

Comment trouver les valeurs propres d'un opérateur en dimension finie $N$ ?

Déterminer le spectre $\text{Sp}(\hat{A})$ d'un opérateur en résolvant l'équation caractéristique $\det(\hat{A} - a\hat{I}) = 0$.

Comment calculer l'adjoint $\hat{A}^\dagger$ d'un opérateur ?

Déterminer la matrice de l'opérateur adjoint $\hat{A}^\dagger$ défini par $\langle\psi|\hat{A}^\dagger|\psi'\rangle = \langle\psi'|\hat{A}|\psi\rangle^*$.

Comment diagonaliser un opérateur hermitien (théorème spectral) ?

Appliquer le théorème spectral pour exprimer un opérateur hermitien $\hat{A}$ sous la forme de décomposition spectrale $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$.

Comment calculer la fonction $f(\hat{A})$ d'un opérateur diagonalisable ?

Évaluer $f(\hat{A})$ en appliquant $f$ aux valeurs propres via la décomposition spectrale, ou en développant $f$ en série entière de puissances de $\hat{A}$.

Comment calculer la probabilité $P(a_n)$ de mesurer une valeur propre non dégénérée ?

Calcul de la probabilité d'obtenir une valeur propre non dégénérée lors d'une mesure quantique.

Comment déterminer l'état du système juste après une mesure (cas non dégénéré) ?

Détermination de l'état post-mesure dans le cas d'un spectre non dégénéré (collapse de la fonction d'onde).

Comment calculer la probabilité $P(a_n)$ de mesurer une valeur propre dégénérée à l'aide du projecteur $\hat{P}_n$ ?

Calcul de la probabilité d'obtenir une valeur propre dégénérée lors d'une mesure quantique, via le projecteur sur le sous-espace propre.

Comment déterminer l'état du système après une mesure dans le cas dégénéré ?

Détermination de l'état post-mesure lorsque la valeur propre obtenue est dégénérée : projection et normalisation.

Comment calculer la valeur moyenne $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ et la variance $\Delta A^2$ d'une grandeur physique ?

Calcul de la valeur moyenne et de la variance d'une observable dans un état quantique donné.

Comment montrer qu'une mesure est certaine ($\Delta A = 0$) et en déduire que l'état est propre de l'observable ?

Démonstration du critère de mesure certaine via la variance nulle et lien avec la notion d'état propre.

Comment écrire l'opérateur d'évolution $\hat{U}(t-t_0)$ d'un système isolé dans la base propre du hamiltonien ?

Exprimer l'opérateur d'évolution d'un système isolé (hamiltonien indépendant du temps) dans la base propre du hamiltonien, sous forme spectrale diagonale.

Comment résoudre l'équation de Schrödinger $i\hbar\,d|\psi(t)\rangle/dt = \hat{H}|\psi(t)\rangle$ pour un hamiltonien indépendant du temps ?

Méthode générale de résolution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps lorsque le hamiltonien est stationnaire, par diagonalisation et décomposition dans la base propre.

Comment calculer l'état $|\psi(t)\rangle$ à un instant $t$ à partir des états propres du hamiltonien ?

Calcul pratique de l'état à un instant donné par projection sur la base propre et application des phases temporelles.

Comment identifier un état stationnaire et montrer que ses valeurs moyennes sont indépendantes du temps ?

Caractérisation des états stationnaires (états propres du hamiltonien) et démonstration de la constance temporelle des valeurs moyennes.

Comment calculer un commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ et utiliser ses identités algébriques pour simplifier ?

Calcul du commutateur de deux opérateurs et utilisation des identités algébriques pour décomposer des commutateurs complexes.

Comment montrer que deux observables admettent une base propre commune ?

Démonstration de l'existence d'une base propre commune à deux observables, basée sur la nullité de leur commutateur et la stabilité des sous-espaces propres.

Comment définir un ECOC et l'utiliser pour préparer le système dans un état bien déterminé ?

Définition d'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC) et procédure de préparation d'état par mesures successives.

Comment appliquer le théorème d'Ehrenfest pour calculer $\dfrac{d}{dt}\langle A\rangle$ ?

Application du théorème d'Ehrenfest pour calculer la dérivée temporelle d'une valeur moyenne à partir du commutateur de l'observable avec le hamiltonien.

Comment identifier les grandeurs conservées à l'aide du commutateur $[\hat{A},\hat{H}] = 0$ ?

Identification des grandeurs conservées en mécanique quantique par le critère de commutation avec le hamiltonien, et interprétation via le théorème d'Ehrenfest.