Suites — Convergence et limites

Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

Trois méthodes principales pour établir qu'une suite est monotone : étude du signe de $u_{n+1} - u_n$, du rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, ou des variations d'une fonction associée.

Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

Techniques pour établir l'existence d'un majorant, d'un minorant ou les deux (suite bornée), étape clé avant d'appliquer le théorème de convergence des suites monotones.

Comment démontrer une propriété d'une suite par récurrence ?

Le raisonnement par récurrence est la technique fondamentale pour démontrer qu'une propriété dépendant d'un entier $n$ est vraie pour tout $n$ à partir d'un certain rang.

Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?

Quatre méthodes complémentaires pour déterminer la limite d'une suite : opérations sur les limites, suites géométriques, théorème des gendarmes, et théorème des suites monotones bornées.

Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?

Encadrer $u_n$ entre deux suites convergeant vers la même limite pour conclure à la convergence de $u_n$.

Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ?

Analyser le comportement d'une suite géométrique de raison $q$ selon la valeur de $q$ par rapport à $-1$, $0$, $1$.

Comment appliquer le théorème de convergence des suites monotones bornées ?

Montrer qu'une suite est à la fois monotone et bornée pour conclure à sa convergence, puis déterminer sa limite.

Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

Analyser une suite récurrente en cherchant ses points fixes, en étudiant la stabilité de l'intervalle et en utilisant la continuité pour identifier la limite.

Comment modéliser et étudier un phénomène d'évolution par une suite ?

Traduire une loi d'évolution en relation de récurrence ou en formule explicite, étudier le comportement asymptotique et interpréter la limite dans le contexte.