Couples et $n$-uplets de variables aléatoires

Comment déterminer la loi d'un vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_n)$ à partir de sa fonction de répartition ?

Caractériser la loi conjointe du vecteur $(X_1,\dots,X_n)$ par la fonction $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)$.

Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$-uplet ?

Retrouver les lois individuelles $X_i$ à partir de la loi conjointe de $(X_1,\dots,X_n)$, soit par passage à la limite dans la FdR, soit par sommation dans le cas discret.

Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ?

Établir l'indépendance mutuelle de $X_1,\dots,X_n$ par la caractérisation adaptée au cadre (général via la FdR, discret via les probabilités élémentaires).

Comment utiliser la caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}$ pour prouver l'indépendance ?

Prouver l'indépendance mutuelle en calculant séparément la FdR conjointe et les FdR marginales, puis en vérifiant leur factorisation sur tout $\mathbb{R}^n$.

Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?

Déduire l'indépendance de variables obtenues par application de fonctions à des blocs disjoints d'un $n$-uplet mutuellement indépendant.

Comment calculer l'espérance d'un produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

Utiliser la propriété multiplicative de l'espérance sous hypothèse d'indépendance.

Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?

Utiliser l'identité $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ pour calculer une covariance.

Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

Utiliser les propriétés algébriques de la covariance pour développer et simplifier une expression.

Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ?

Utiliser la formule générale de la variance d'une somme, et la simplifier sous hypothèse d'indépendance deux à deux.

Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$ et l'interpréter dans le cas $|\rho|=1$ ?

Calculer le coefficient de corrélation et interpréter les valeurs extrêmes en termes de relation affine.

Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ?

Calcul d'une densité de somme par la formule de convolution $f_{X+Y}(z) = \int f_X(t) f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$.

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

Utilisation des propriétés de stabilité additive des lois gamma et normale pour obtenir directement la loi d'une somme.

Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ?

Identification de la loi de $S_n = X_1 + \dots + X_n$ via la loi $\gamma(n)$ après multiplication par $\lambda$.