Continuité des fonctions d'une variable réelle

Continuité en un point et sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires, unicité des solutions, méthode de dichotomie, suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Choisissez une approche :

Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?
Deux approches : calculer la limite et la comparer à la valeur de la fonction, ou invoquer la continuité des fonctions usuelles et leur stabilité par opérations.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?
Appliquer le TVI en vérifiant la continuité sur un segment $[a,b]$ et en encadrant la valeur cible $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ .
Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ a une unique solution ?
Combiner le TVI (existence) avec la stricte monotonie de $f$ (unicité) pour conclure à l'existence et l'unicité d'une solution.
Comment encadrer une solution par la méthode de dichotomie ?
La méthode de dichotomie divise de façon répétée un intervalle contenant une racine pour obtenir un encadrement aussi précis que souhaité.
Comment étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ et sa limite en utilisant la continuité ?
Étude des suites récurrentes : montrer que $f$ envoie un intervalle dans lui-même, établir la convergence, puis identifier la limite comme point fixe de $f$ grâce à la continuité.