Continuité des fonctions d'une variable réelle
Continuité en un point et sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires, unicité des solutions, méthode de dichotomie, suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$.
Choisissez une approche :
Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?
Deux approches : calculer la limite et la comparer à la valeur de la fonction, ou invoquer la continuité des fonctions usuelles et leur stabilité par opérations.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?
Appliquer le TVI en vérifiant la continuité sur un segment $[a,b]$ et en encadrant la valeur cible $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$.
Comment montrer qu'une équation a une unique solution ?
Combiner le TVI (existence) avec la stricte monotonie de $f$ (unicité) pour conclure à l'existence et l'unicité d'une solution.
Comment encadrer une solution par la méthode de dichotomie ?
La méthode de dichotomie divise de façon répétée un intervalle contenant une racine pour obtenir un encadrement aussi précis que souhaité.
Comment étudier une suite et sa limite en utilisant la continuité ?
Étude des suites récurrentes : montrer que $f$ envoie un intervalle dans lui-même, établir la convergence, puis identifier la limite comme point fixe de $f$ grâce à la continuité.