Fonctions continues et calcul différentiel sur R²

Comment montrer qu'une fonction de deux variables est continue sur R² ?

Établir la continuité d'une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sur tout son domaine.

Comment représenter une ligne de niveau d'une fonction de deux variables ?

Tracer dans le plan l'ensemble $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) = c\}$ pour une constante $c$ donnée.

Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?

Calculer $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ pour une fonction de deux variables.

Comment montrer qu'une fonction est de classe C¹ (resp. C²) sur R² ?

Justifier qu'une fonction de deux variables admet des dérivées partielles continues sur $\mathbb{R}^2$.

Comment écrire le gradient ∇f(x,y) d'une fonction en un point ?

Écrire le vecteur gradient d'une fonction de deux variables à partir de ses dérivées partielles d'ordre 1.

Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?

Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction et utiliser l'égalité des dérivées croisées.

Comment écrire la matrice hessienne d'une fonction de deux variables ?

Construire la matrice $\nabla^2 f(x,y)$ des dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$.