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Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?

En substituant la condition initiale (x0,y0)(x_0, y_0) dans la solution générale y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_p pour déterminer la constante CC

L'objectif

Trouver la solution unique d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale y(x0)=y0y(x_0) = y_0, et la vérifier rigoureusement.

Le principe

Pour chaque condition initiale (x0,y0)(x_0, y_0), il existe une unique valeur de CC telle que Ceax0+yp(x0)=y0Ce^{ax_0} + y_p(x_0) = y_0 ; cette valeur donne la solution particulière du problème de Cauchy.

La méthode
  1. 1
    Écrire la solution générale y(x)=Ceax+yp(x)y(x) = Ce^{ax} + y_p(x) de l'équation différentielle.
    Voir
  2. 2
    Substituer la condition initiale : remplacer xx par x0x_0 et yy par y0y_0 dans la solution générale pour obtenir une équation en CC : Ceax0+yp(x0)=y0Ce^{ax_0} + y_p(x_0) = y_0.
    Voir
  3. 3
    Résoudre cette équation pour trouver CC : C=(y0−yp(x0))e−ax0C = \left(y_0 - y_p(x_0)\right)e^{-ax_0}.
    Voir
  4. 4
    Écrire la solution particulière, puis vérifier : (1) calculer y′(x)y'(x) et contrôler que y′(x)=ay(x)+f(x)y'(x) = ay(x) + f(x) ; (2) calculer y(x0)y(x_0) et vérifier que y(x0)=y0y(x_0) = y_0.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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