Compléments sur la dérivation

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée $v \circ u$ ?

Identifier les fonctions $u$ et $v$, calculer leurs dérivées, puis appliquer la formule $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$.

Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?

Dériver une deuxième fois la fonction dérivée $f'$ pour obtenir $f''$, utilisée pour l'étude de la convexité.

Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

Deux approches complémentaires : l'étude du signe de la dérivée seconde $f''$, ou la comparaison géométrique entre la courbe et ses tangentes.

Comment trouver les points d'inflexion d'une courbe ?

Chercher les points où $f''$ s'annule et change de signe : en ces points, la courbe traverse sa tangente et change de sens de courbure.

Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

Utiliser la convexité pour obtenir des inégalités : soit via la tangente (la courbe est au-dessus), soit via les sécantes (définition géométrique par position relative).

Comment esquisser l'allure d'une courbe à partir des tableaux de $f$, $f'$, $f''$ ?

Construire les tableaux de variations de $f'$ et $f''$ pour repérer les extrema, les points d'inflexion et la concavité, puis tracer la courbe de $f$.