Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

Utiliser la convexité pour obtenir des inégalités : soit via la tangente (la courbe est au-dessus), soit via les sécantes (définition géométrique par position relative).

Choisissez une approche :

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$
Démontrer une inégalité en choisissant judicieusement un point de tangence $a$ et en exploitant que la convexité de $f$ implique $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ .
En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)
Exploiter la définition géométrique de la convexité : pour $f$ convexe et $a < b$ , tous les points de la courbe entre $a$ et $b$ sont en-dessous de la corde reliant $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ ... ou au-dessus selon le sens.