Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ? | MetMat

Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)

Démontrer des inégalités en utilisant la propriété que la courbe d'une fonction convexe est en-dessous de ses cordes (sécantes).

L'objectif

Démontrer des inégalités en utilisant la propriété que la courbe d'une fonction convexe est en-dessous de ses cordes (sécantes).

Le principe

Si $f$ est convexe sur $[a, b]$ , alors pour tout $x \in [a, b]$ : $f(x) \leq f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ (la courbe est en-dessous de la sécante). Cela équivaut à : pour tous $x, y \in I$ et $t \in [0,1]$ , $f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et montrer qu'elle est convexe sur l'intervalle considéré en calculant $f''$ et en vérifiant $f'' \geq 0$ .
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
2
Choisir les deux points $a$ et $b$ (extrémités de la sécante) de façon que la droite reliant $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ donne l'inégalité souhaitée.
3
Écrire l'équation de la sécante passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ : $y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ , puis appliquer l'inégalité des sécantes : pour $f$ convexe, $f(x) \leq y$ pour $x \in [a, b]$ .
4
Simplifier l'inégalité obtenue et conclure en précisant les conditions d'égalité et l'ensemble de validité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

En utilisant la convexité de $f(x) = e^x$ , montrer que $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \dfrac{e^a + e^b}{2}$ pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ (inégalité de convexité).

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

et montrer qu'elle est convexe sur l'intervalle considéré en calculant

f''

et en vérifiant

f'' \geq 0

$f(x) = e^x$ vérifie $f''(x) = e^x > 0$ , donc $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Choisir les deux points

a

b

(extrémités de la sécante) de façon que la droite reliant

(a, f(a))

(b, f(b))

donne l'inégalité souhaitée.

On choisit les points d'abscisses $a$ et $b$ , et on prend $t = \dfrac{1}{2}$ dans l'inégalité de convexité $f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$ .

Étape 3 —

Écrire l'équation de la sécante passant par

(a, f(a))

(b, f(b))

y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

, puis appliquer l'inégalité des sécantes : pour

f

convexe,

f(x) \leq y

pour

x \in [a, b]

Avec $t = \dfrac{1}{2}$ , $x = a$ , $y = b$ : $f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$ , soit $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \dfrac{e^a + e^b}{2}$ .

Étape 4 —

Simplifier l'inégalité obtenue et conclure en précisant les conditions d'égalité et l'ensemble de validité.

Donc pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ : $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \dfrac{e^a + e^b}{2}$ , avec égalité si et seulement si $a = b$ . Cela exprime que la moyenne géométrique de $e^a$ et $e^b$ est inférieure à leur moyenne arithmétique.

$e^{\frac{a+b}{2}} \leq \dfrac{e^a + e^b}{2}$ pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ , avec égalité ssi $a = b$ .

Application guidée

En utilisant la convexité de $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$ , montrer que $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$ pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ .

Application autonome 1

En utilisant la concavité de $f(x) = \ln x$ sur $]0, +\infty[$ , montrer que $\ln\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geq \dfrac{\ln a + \ln b}{2}$ pour tous $a, b > 0$ .

Application autonome 2

En utilisant la convexité de $f(x) = e^x$ sur $\mathbb{R}$ , montrer que pour tous $a < b$ et tout $t \in [0, 1]$ : $e^{ta + (1-t)b} \leq te^a + (1-t)e^b$ .

Application autonome 3

En utilisant la concavité de $f(x) = \sqrt{x}$ sur $]0, +\infty[$ , montrer que $\sqrt{\dfrac{a+b}{2}} \geq \dfrac{\sqrt a + \sqrt b}{2}$ pour tous $a, b > 0$ .

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En utilisant que la courbe de fff convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)

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En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)