Comment caractériser $p_F(x)$ comme le vecteur de $F$ qui minimise la distance $\|x-u\|$ ? | MetMat

Comment caractériser $p_F(x)$ comme le vecteur de $F$ qui minimise la distance $\|x-u\|$ ?

En écrivant $\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2$ par Pythagore et en concluant

Montrer que $p_F(x)$ est l'unique vecteur de $F$ qui réalise $\min_{u\in F}\|x-u\|$ et exploiter cette caractérisation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $F=\mathrm{Vect}((1,1,0))$ . Calculer la distance de $x=(0,0,1)$ à $F$ .

L'objectif

Montrer que $p_F(x)$ est l'unique vecteur de $F$ qui réalise $\min_{u\in F}\|x-u\|$ et exploiter cette caractérisation.

Le principe

Pour $u\in F$ , on a $x-u=(x-p_F(x))+(p_F(x)-u)$ avec $(x-p_F(x))\perp F$ et $(p_F(x)-u)\in F$ , donc Pythagore donne $\|x-u\|^2\geq \|x-p_F(x)\|^2$ avec égalité ssi $u=p_F(x)$ .

La méthode

1
Je pose $v=p_F(x)$ et je me donne $u\in F$ quelconque, puis j'écris $x-u=(x-v)+(v-u)$ .
2
Je vérifie que $x-v\in F^{\perp}$ (par définition du projeté) et que $v-u\in F$ (différence d'éléments de $F$ ), donc les deux vecteurs sont orthogonaux.
Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?Voir
3
J'applique le théorème de Pythagore : $\|x-u\|^2=\|x-v\|^2+\|v-u\|^2\geq \|x-v\|^2$ .
Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?Voir
4
Je conclus que $\min_{u\in F}\|x-u\|=\|x-p_F(x)\|$ , atteint uniquement pour $u=v=p_F(x)$ ; la distance de $x$ à $F$ vaut $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $F=\mathrm{Vect}((1,1,0))$ . Calculer la distance de $x=(0,0,1)$ à $F$ .

Étape 1 —

Je pose

v=p_F(x)

et je me donne

u\in F

quelconque, puis j'écris

x-u=(x-v)+(v-u)

Je pose $v=p_F(x)$ et pour $u=\alpha(1,1,0)\in F$ , j'écris $x-u=(x-v)+(v-u)$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

x-v\in F^{\perp}

(par définition du projeté) et que

v-u\in F

(différence d'éléments de

F

), donc les deux vecteurs sont orthogonaux.

Un calcul direct donne $v=\tfrac{\langle x,(1,1,0)\rangle}{2}(1,1,0)=(0,0,0)$ et $x-v=(0,0,1)\in F^{\perp}$ (bien orthogonal à $(1,1,0)$ ). Les vecteurs $x-v$ et $v-u$ sont orthogonaux.

Étape 3 —

J'applique le théorème de Pythagore :

\|x-u\|^2=\|x-v\|^2+\|v-u\|^2\geq \|x-v\|^2

Par Pythagore : $\|x-u\|^2=\|x-v\|^2+\|v-u\|^2=1+\|v-u\|^2\geq 1$ .

Étape 4 —

Je conclus que

\min_{u\in F}\|x-u\|=\|x-p_F(x)\|

, atteint uniquement pour

u=v=p_F(x)

; la distance de

x

F

vaut

d(x,F)=\|x-p_F(x)\|

Le minimum vaut $1$ et est atteint pour $u=v=(0,0,0)$ , donc $d(x,F)=1$ .

$d(x,F)=1$ , atteint en $p_F(x)=(0,0,0)$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $H$ le plan d'équation $x+y+z=0$ . Calculer $d((1,1,1),H)$ .

Application autonome 1

Soit $E=\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle=\int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$ et $F=\mathbb{R}_1[X]$ . Déterminer la meilleure approximation de $X^2$ par un polynôme de degré $\leq 1$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $D=\mathrm{Vect}((1,0,0))$ . Trouver le point de $D$ le plus proche de $x=(2,3,4)$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1))$ . Calculer la distance de $x = (2, 0, 2)$ à $F$ .

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En écrivant ∥x−u∥2=∥x−pF(x)∥2+∥pF(x)−u∥2\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2∥x−u∥2=∥x−pF​(x)∥2+∥pF​(x)−u∥2 par Pythagore et en concluant

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2$ par Pythagore et en concluant