Travaux pratiques de mathématiques avec Python : statistiques bivariées, fonctions de deux variables et visualisation des extrema sous contrainte linéaire.
Choisissez une approche :
Comment représenter un nuage de points et le point moyen d'une série statistique bivariée avec matplotlib ?
Tracer un nuage de points $(x_i,y_i)$ et mettre en évidence le point moyen $(\bar x,\bar y)$ avec matplotlib et numpy.
Comment calculer la covariance et le coefficient de corrélation empiriques d'une série double avec numpy ?
Calculer $\mathrm{Cov}(x,y)$ et $\rho(x,y)$ à partir de deux tableaux numpy en utilisant `np.cov` et `np.corrcoef`.
Comment tracer les droites de régression d'une série bivariée et effectuer une pré-transformation linéarisante ?
Obtenir la droite des moindres carrés $y = ax + b$ avec `np.polyfit` et linéariser un modèle $y = \alpha e^{\beta x}$ via $\ln y = \ln\alpha + \beta x$.
Comment représenter le graphe 3D et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?
Tracer la surface $z = f(x,y)$ avec `ax.plot_surface` et ses lignes de niveau avec `plt.contour` en utilisant `np.meshgrid`.
Comment visualiser le plan tangent et mettre en évidence l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau ?
Tracer le plan tangent $z = f(a,b) + \partial_x f\cdot(x-a) + \partial_y f\cdot(y-b)$ et superposer les vecteurs gradients aux lignes de niveau via `plt.quiver`.
Comment illustrer graphiquement la recherche d'extrema locaux ou globaux, avec ou sans contrainte linéaire ?
Identifier visuellement les points critiques d'une fonction de deux variables (min, max, selle) à partir des lignes de niveau, et traiter le cas contraint en évaluant $f$ le long d'une droite.
Comment simuler une variable aléatoire par la méthode d'inversion à partir de la fonction de répartition ?
Simuler une variable aléatoire $X$ en calculant l'inverse $F^{-1}$ de sa fonction de répartition et en composant avec un tirage uniforme.
Comment simuler une loi géométrique à l'aide d'une boucle while et d'une loi de Bernoulli ?
Reproduire le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes grâce à une boucle `while`.
Comment simuler une loi géométrique à partir d'une loi exponentielle et de la fonction floor ?
Utiliser le lien entre loi géométrique et loi exponentielle : si $Y\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda = -\ln(1-p)$, alors $\lfloor Y \rfloor + 1\sim\mathcal{G}(p)$.
Comment simuler une loi normale à partir du TLC appliqué à 12 lois uniformes indépendantes ?
Exploiter le théorème limite central avec $n=12$ uniformes sur $[0,1]$ pour approcher une $\mathcal{N}(0,1)$ sans calcul de racine.
Comment utiliser la librairie numpy.random pour simuler les lois usuelles et comparer différentes méthodes ?
Mobiliser les fonctions dédiées de `numpy.random` (`binomial`, `geometric`, `poisson`, `exponential`, `normal`, `randn`) et les comparer aux implémentations manuelles.
Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?
Confronter graphiquement un échantillon Python avec la densité, les probabilités ou la fonction de répartition théoriques.
Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ?
Mettre en évidence la LFGN, la stabilité empirique de $P(|\bar X_n - m|\geq\varepsilon)$ et le TLC par des tracés Python.
Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ?
Transformer la quantité à estimer en une espérance, tirer un grand nombre de réalisations et moyenner.
Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ?
Répéter la construction des estimateurs/IC sur de nombreux jeux de données simulés pour mesurer biais, variance, demi-largeur et niveau effectif.