Standardiser une somme de variables i.i.d. et approcher sa loi par la loi normale via le TLC.
Choisissez une approche :
En vérifiant i.i.d., E(X)=mE(X) = mE(X)=m, V(X)=σ2>0V(X) = \sigma^2 > 0V(X)=σ2>0, puis Xn∗=(Sn−nm)/(σn)→LN(0,1)X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)Xn∗=(Sn−nm)/(σn)LN(0,1)
Appliquer le théorème limite central à une somme de variables i.i.d. en la standardisant.
En standardisant P(a≤Sn≤b)=P((a−nm)/(σn)≤Xn∗≤(b−nm)/(σn))≈Φ(⋅)−Φ(⋅)P(a \leq S_n \leq b) = P((a-nm)/(\sigma\sqrt n) \leq X_n^* \leq (b-nm)/(\sigma\sqrt n)) \approx \Phi(\cdot) - \Phi(\cdot)P(a≤Sn≤b)=P((a−nm)/(σn)≤Xn∗≤(b−nm)/(σn))≈Φ(⋅)−Φ(⋅)
Exploiter le TLC pour approcher numériquement P(a≤Sn≤b)P(a \leq S_n \leq b)P(a≤Sn≤b) par la fonction de répartition Φ\PhiΦ de N(0,1)\mathcal{N}(0,1)N(0,1).