Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ?

En vérifiant i.i.d., $E(X) = m$ , $V(X) = \sigma^2 > 0$ , puis $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$

L'objectif

Établir la convergence en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ de la somme centrée-réduite d'un échantillon i.i.d. de variance finie.

Le principe

Théorème limite central (admis au BO) : si $(X_n)_{n \geq 1}$ est une suite i.i.d. telle que $E(X_1) = m$ et $V(X_1) = \sigma^2 \in ]0, +\infty[$ , alors en posant $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ , la variable centrée-réduite $X_n^* = \dfrac{S_n - n m}{\sigma \sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC : $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d., $m = E(X_1)$ et $\sigma^2 = V(X_1) \in ]0, +\infty[$ .
2
Je pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et la variable centrée-réduite $X_n^* = \dfrac{S_n - nm}{\sigma\sqrt{n}}$ .
3
Par le TLC, $X_n^* \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; j'explicite $E(S_n) = n m$ et $V(S_n) = n \sigma^2$ pour interpréter la standardisation.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En vérifiant i.i.d., E(X)=mE(X) = mE(X)=m, V(X)=σ2>0V(X) = \sigma^2 > 0V(X)=σ2>0, puis Xn∗=(Sn−nm)/(σn)→LN(0,1)X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)Xn∗​=(Sn​−nm)/(σn​)L​N(0,1)

Exemple corrigé

En vérifiant i.i.d., $E(X) = m$ , $V(X) = \sigma^2 > 0$ , puis $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$