Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ? | MetMat

Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ?

En standardisant $P(a \leq S_n \leq b) = P((a-nm)/(\sigma\sqrt n) \leq X_n^* \leq (b-nm)/(\sigma\sqrt n)) \approx \Phi(\cdot) - \Phi(\cdot)$

Approcher numériquement une probabilité du type $P(a \leq S_n \leq b)$ à l'aide du TLC et de la table de $\Phi$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance $n = 1000$ fois une pièce équilibrée. Approcher $P(480 \leq S_{1000} \leq 520)$ où $S_{1000}$ est le nombre de piles obtenus.

L'objectif

Approcher numériquement une probabilité du type $P(a \leq S_n \leq b)$ à l'aide du TLC et de la table de $\Phi$ .

Le principe

En standardisant une somme $S_n$ de variables i.i.d. sous les hypothèses du TLC, $P(a \leq S_n \leq b) = P\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}} \leq X_n^* \leq \tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) \approx \Phi\big(\tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) - \Phi\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)$ pour $n$ grand.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC et j'identifie $m$ , $\sigma$ , $n$ , ainsi que les bornes $a$ et $b$ de l'événement $\{a \leq S_n \leq b\}$ .
2
Je standardise : $P(a \leq S_n \leq b) = P\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}} \leq X_n^* \leq \tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)$ avec $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n})$ .
3
Par le TLC $X_n^* \approx \mathcal{N}(0,1)$ pour $n$ grand : $P(a \leq S_n \leq b) \approx \Phi\big(\tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) - \Phi\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)$ .
4
Je lis les valeurs de $\Phi$ dans la table (en utilisant $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ si besoin) pour obtenir l'approximation numérique.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

On lance $n = 1000$ fois une pièce équilibrée. Approcher $P(480 \leq S_{1000} \leq 520)$ où $S_{1000}$ est le nombre de piles obtenus.

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses du TLC et j'identifie

m

\sigma

n

, ainsi que les bornes

a

b

de l'événement

\{a \leq S_n \leq b\}

$S_{1000} \sim \mathcal{B}(1000, 1/2)$ est somme de $n = 1000$ Bernoulli $(1/2)$ i.i.d. : $m = 1/2$ , $\sigma = 1/2$ ; les hypothèses du TLC sont satisfaites.

Étape 2 —

Je standardise :

P(a \leq S_n \leq b) = P\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}} \leq X_n^* \leq \tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)

avec

X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n})

$nm = 500$ , $\sigma\sqrt{n} = \sqrt{250} \approx 15{,}81$ ; je standardise : $P(480 \leq S_{1000} \leq 520) = P\big(\tfrac{480 - 500}{15{,}81} \leq X_n^* \leq \tfrac{520 - 500}{15{,}81}\big) \approx P(-1{,}265 \leq X_n^* \leq 1{,}265)$ .

Étape 3 —

Par le TLC

X_n^* \approx \mathcal{N}(0,1)

pour

n

grand :

P(a \leq S_n \leq b) \approx \Phi\big(\tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) - \Phi\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)

Par le TLC, $P(480 \leq S_{1000} \leq 520) \approx \Phi(1{,}265) - \Phi(-1{,}265) = 2\Phi(1{,}265) - 1$ .

Étape 4 —

Je lis les valeurs de

\Phi

dans la table (en utilisant

\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)

si besoin) pour obtenir l'approximation numérique.

$\Phi(1{,}265) \approx 0{,}897$ , donc $P(480 \leq S_{1000} \leq 520) \approx 2 \times 0{,}897 - 1 = 0{,}794$ .

$P(480 \leq S_{1000} \leq 520) \approx 0{,}794$ .

Application guidée

Soient $X_1, \dots, X_{400}$ i.i.d. d'espérance $m = 10$ et d'écart-type $\sigma = 5$ . Approcher $P(S_{400} \geq 4100)$ .

Application autonome 1

Soient $X_1, \dots, X_{100}$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ . Approcher $P(S_{100} \leq 110)$ où $S_{100} = \sum_{i=1}^{100} X_i$ .

Application autonome 2

On additionne $n = 200$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Approcher $P(S_{200} \geq 110)$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, \dots, X_{900}$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(1)$ . Approcher $P(850 \leq S_{900} \leq 950)$ .

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