Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ?

En standardisant $P(a \leq S_n \leq b) = P((a-nm)/(\sigma\sqrt n) \leq X_n^* \leq (b-nm)/(\sigma\sqrt n)) \approx \Phi(\cdot) - \Phi(\cdot)$

L'objectif

Approcher numériquement une probabilité du type $P(a \leq S_n \leq b)$ à l'aide du TLC et de la table de $\Phi$ .

Le principe

En standardisant une somme $S_n$ de variables i.i.d. sous les hypothèses du TLC, $P(a \leq S_n \leq b) = P\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}} \leq X_n^* \leq \tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) \approx \Phi\big(\tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) - \Phi\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)$ pour $n$ grand.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC et j'identifie $m$ , $\sigma$ , $n$ , ainsi que les bornes $a$ et $b$ de l'événement $\{a \leq S_n \leq b\}$ .
2
Je standardise : $P(a \leq S_n \leq b) = P\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}} \leq X_n^* \leq \tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)$ avec $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n})$ .
3
Par le TLC $X_n^* \approx \mathcal{N}(0,1)$ pour $n$ grand : $P(a \leq S_n \leq b) \approx \Phi\big(\tfrac{b - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big) - \Phi\big(\tfrac{a - nm}{\sigma\sqrt{n}}\big)$ .
4
Je lis les valeurs de $\Phi$ dans la table (en utilisant $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ si besoin) pour obtenir l'approximation numérique.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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