Convergences en probabilité et en loi

Comment appliquer l'inégalité de Markov pour majorer $P(|X| \geq a)$ ?

Utiliser l'inégalité de Markov pour obtenir une borne supérieure de la probabilité d'un grand écart.

Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?

Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer la probabilité qu'une variable s'écarte de son espérance.

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ?

Établir la convergence en probabilité d'une suite de variables aléatoires via la définition ou Bienaymé-Tchebychev.

Comment appliquer la loi faible des grands nombres à une suite de variables i.i.d. ?

Utiliser la LFGN pour conclure que la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance commune.

Comment exploiter la composition par une fonction continue pour la convergence en probabilité ?

Transmettre la convergence en probabilité à travers une fonction continue pour étudier $f(X_n)$.

Comment exploiter la somme pour la convergence en probabilité ?

Additionner deux suites convergeant en probabilité et obtenir la convergence de la somme.

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?

Établir la convergence en loi via la convergence ponctuelle des fonctions de répartition aux points de continuité de la limite.

Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ?

Utiliser la caractérisation discrète de la convergence en loi pour des variables entières.

Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ?

Standardiser une somme de variables i.i.d. et approcher sa loi par la loi normale via le TLC.

Comment justifier l'approximation de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi normale ?

Justifier et exploiter l'approximation normale d'une loi binomiale via le TLC appliqué à des Bernoulli i.i.d.

Comment justifier l'approximation de la loi de Poisson par la loi normale ?

Approximer une loi de Poisson de grand paramètre par une loi normale via le TLC.