Espaces vectoriels réels de dimension finie

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?

Trois techniques standard pour reconnaître un sous-espace vectoriel : caractérisation directe, noyau/image d'une application linéaire, ou $\mathrm{Vect}$.

Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?

Établir l'indépendance linéaire d'une famille soit par résolution directe, soit par un argument de rang matriciel.

Comment montrer qu'une famille est génératrice d'un sous-espace ?

Prouver que tout vecteur du sous-espace s'écrit comme combinaison linéaire de la famille donnée.

Comment montrer qu'une famille est une base ?

Deux techniques selon que la dimension du sous-espace est connue ou non.

Comment déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

Calculer $\dim F$ soit en exhibant une base, soit via le théorème du rang.

Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?

Appliquer l'algorithme du pivot de Gauss pour compter les pivots non nuls.

Comment exprimer un vecteur dans une base ?

Calculer les coordonnées d'un vecteur dans une base donnée par résolution d'un système linéaire.