Convergences et approximations (Markov, Bienaymé-Tchebychev, LFGN, conv. en loi, TCL)

Comment appliquer l'inégalité de Markov à une variable positive ?

Majorer une probabilité de dépassement $P([X \\geq a])$ pour une variable aléatoire positive admettant une espérance.

Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?

Majorer la probabilité d'écart à la moyenne pour une variable admettant une variance.

Comment montrer qu'une suite $(\\bar{X}_n)$ vérifie la loi faible des grands nombres ?

Établir la convergence en probabilité de la moyenne empirique vers l'espérance commune.

Comment montrer une convergence en loi (cas $\\mathbb{Z}$) ?

Utiliser la caractérisation par les probabilités ponctuelles dans le cas où les variables sont à valeurs entières.

Comment appliquer l'approximation $\\mathcal{B}(n, \\lambda/n) \\to \\mathcal{P}(\\lambda)$ ?

Remplacer une loi binomiale par une loi de Poisson lorsque $n$ est grand et $p$ petit.

Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ?

Centrer-réduire la moyenne empirique et utiliser la loi normale centrée réduite pour calculer une probabilité.

Comment approximer une binomiale (ou Poisson) par une normale ?

Utiliser le TCL pour remplacer la somme $S_n$ d'une binomiale ou d'une Poisson par une loi normale d'espérance et de variance adaptées.