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Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer E(g(X))E(g(X)) ?

En calculant E(g(X))=∑x∈X(Ω)g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x) (convergence absolue requise si X(Ω)X(\Omega) infini)

L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable Y=g(X)Y=g(X) directement à partir de la loi de XX, sans déterminer celle de YY.

Le principe

Théorème de transfert : si XX est une variable aléatoire discrète et gg une fonction définie sur X(Ω)X(\Omega), alors g(X)g(X) admet une espérance si et seulement si la série ∑x∈X(Ω)g(x)P(X=x)\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x) est absolument convergente (automatique si X(Ω)X(\Omega) est fini), et dans ce cas E(g(X))=∑x∈X(Ω)g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x).

La méthode
  1. 1
    J'identifie la loi de XX (support X(Ω)X(\Omega) et probabilités P(X=x)P(X=x)) et j'explicite la fonction gg à appliquer.
  2. 2
    Si X(Ω)X(\Omega) est infini, je vérifie la convergence absolue de ∑x∈X(Ω)∣g(x)∣P(X=x)\sum_{x\in X(\Omega)} |g(x)|P(X=x) avant toute manipulation de la somme.
    Voir
  3. 3
    Je calcule E(g(X))=∑x∈X(Ω)g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x) en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, exponentielle, binôme).
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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