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Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?

En appliquant E(X)=∑x∈X(Ω)xP(X=x)E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x) (en vérifiant la convergence absolue si X(Ω)X(\Omega) est infini)

L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète par application directe de la formule de sommation.

Le principe

Si XX est une variable aléatoire discrète de support X(Ω)X(\Omega), alors XX admet une espérance si et seulement si la série ∑x∈X(Ω)xP(X=x)\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x) est absolument convergente (condition automatique si X(Ω)X(\Omega) est fini), et dans ce cas E(X)=∑x∈X(Ω)xP(X=x)E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x).

La méthode
  1. 1
    J'identifie le support X(Ω)X(\Omega) et la loi de XX : si X(Ω)X(\Omega) est fini, l'existence de l'espérance est automatique ; sinon, je vérifie d'abord que ∑x∈X(Ω)∣x∣P(X=x)<+∞\sum_{x\in X(\Omega)} |x|P(X=x)<+\infty.
    Voir
  2. 2
    Je calcule la somme ∑x∈X(Ω)xP(X=x)\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x) en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, série exponentielle, binôme).
    Voir
  3. 3
    Je conclus en donnant la valeur de E(X)E(X), et j'interprète le résultat comme la valeur moyenne de XX.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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