En appliquant $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ (en vérifiant la convergence absolue si $X(\Omega)$ est infini)

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète par application directe de la formule de sommation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X$ suit la loi donnée par $P(X=-1)=0{,}2$ , $P(X=0)=0{,}5$ , $P(X=2)=0{,}3$ . Calculer $E(X)$ .

L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète par application directe de la formule de sommation.

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète de support $X(\Omega)$ , alors $X$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ est absolument convergente (condition automatique si $X(\Omega)$ est fini), et dans ce cas $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ .

La méthode

1
J'identifie le support $X(\Omega)$ et la loi de $X$ : si $X(\Omega)$ est fini, l'existence de l'espérance est automatique ; sinon, je vérifie d'abord que $\sum_{x\in X(\Omega)} |x|P(X=x)<+\infty$ .
Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?Voir
2
Je calcule la somme $\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, série exponentielle, binôme).
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir
3
Je conclus en donnant la valeur de $E(X)$ , et j'interprète le résultat comme la valeur moyenne de $X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$X$ suit la loi donnée par $P(X=-1)=0{,}2$ , $P(X=0)=0{,}5$ , $P(X=2)=0{,}3$ . Calculer $E(X)$ .

Étape 1 —

J'identifie le support

X(\Omega)

et la loi de

X

: si

X(\Omega)

est fini, l'existence de l'espérance est automatique ; sinon, je vérifie d'abord que

\sum_{x\in X(\Omega)} |x|P(X=x)<+\infty

$X(\Omega)=\{-1,0,2\}$ est fini, donc $X$ admet une espérance.

Étape 2 —

Je calcule la somme

\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)

en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, série exponentielle, binôme).

$E(X)=(-1)\cdot 0{,}2+0\cdot 0{,}5+2\cdot 0{,}3=-0{,}2+0{,}6=0{,}4$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant la valeur de

E(X)

, et j'interprète le résultat comme la valeur moyenne de

X

Donc $E(X)=0{,}4$ : en moyenne, $X$ prend la valeur $0{,}4$ .

$E(X)=0{,}4$ .

Application guidée

$X$ suit la loi uniforme sur $[\![1,6]\!]$ (jet d'un dé équilibré). Calculer $E(X)$ .

Application autonome 1

$X\sim\mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ . Calculer $E(X)$ par définition.

Application autonome 2

$X$ prend les valeurs $1,2,3,4$ avec probabilités respectives $0{,}1$ , $0{,}4$ , $0{,}3$ , $0{,}2$ . Calculer $E(X)$ .

Application autonome 3

$X$ suit la loi définie par $P(X=k)=\dfrac{1}{2^k}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ . Calculer $E(X)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant E(X)=∑x∈X(Ω)xP(X=x)E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)E(X)=∑x∈X(Ω)​xP(X=x) (en vérifiant la convergence absolue si X(Ω)X(\Omega)X(Ω) est infini)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ (en vérifiant la convergence absolue si $X(\Omega)$ est infini)