Comment utiliser le théorème des suites adjacentes ?

En vérifiant qu'une suite est croissante, l'autre décroissante, et que leur différence tend vers $0$

L'objectif

Démontrer que deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite $\ell$ et en fournir un encadrement précis.

Le principe

Deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et $v_n-u_n\to 0$ ; elles convergent alors vers une même limite $\ell$ et, pour tout $n$ , $u_n\le \ell\le v_n$ .

La méthode

1
Je vérifie que $(u_n)$ est croissante (signe de $u_{n+1}-u_n$ ) et que $(v_n)$ est décroissante (signe de $v_{n+1}-v_n$ ).
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?Voir
2
Je calcule ou je majore $v_n-u_n$ et je montre que cette différence tend vers $0$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
3
Par le théorème des suites adjacentes, $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite $\ell$ , avec $u_n\le\ell\le v_n$ pour tout $n$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En vérifiant qu'une suite est croissante, l'autre décroissante, et que leur différence tend vers 000

Exemple corrigé

En vérifiant qu'une suite est croissante, l'autre décroissante, et que leur différence tend vers $0$