Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Comment démontrer une implication $H \Rightarrow P$ ?

Établir qu'une hypothèse $H$ entraîne logiquement une conclusion $P$.

Comment démontrer une équivalence ?

Prouver que deux propositions $P$ et $Q$ sont logiquement équivalentes, c'est-à-dire $P \iff Q$.

Comment formuler la négation d'une proposition ?

Écrire correctement la négation d'une proposition faisant intervenir des connecteurs logiques et des quantificateurs.

Comment démontrer une proposition par contraposée ou par l'absurde ?

Utiliser des raisonnements indirects : contraposée pour une implication, absurde pour une proposition quelconque.

Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?

Établir qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ à l'aide du principe de récurrence.

Comment infirmer une proposition universelle ?

Prouver qu'une proposition du type $\forall x, P(x)$ est fausse.

Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?

Établir $A\subset B$ ou $A=B$ entre deux ensembles définis par extension, compréhension ou opérations ensemblistes.

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

Étudier le caractère injectif, surjectif ou bijectif d'une application $f\colon E\to F$ et construire $f^{-1}$ le cas échéant.

Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?

Évaluer une somme $\sum$ ou un produit $\prod$ d'un nombre fini de termes à l'aide de formules classiques, de télescopages ou d'un changement d'indice.