En traduisant la loi d'évolution en relation de récurrence ou en formule explicite, puis en étudiant la convergence et l'interprétation de la limite

Modéliser un phénomène d'évolution par une suite, étudier son comportement à long terme et interpréter la limite dans le contexte du problème.

L'objectif

Modéliser un phénomène d'évolution par une suite, étudier son comportement à long terme et interpréter la limite dans le contexte du problème.

Le principe

Un phénomène évolutif se traduit en une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ ou en une formule explicite ; l'étude de la convergence et de la limite fournit l'état d'équilibre ou la tendance à long terme du phénomène.

La méthode

1
Lire attentivement l'énoncé pour identifier la grandeur modélisée (population, capital, concentration, etc.), l'indice $n$ (année, génération, etc.) et la loi d'évolution (taux de croissance, relation entre états successifs).
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Traduire la loi d'évolution en une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ ou en une formule explicite $u_n = g(n)$ , en vérifiant les conditions initiales $u_0$ (ou $u_1$ ).
3
Étudier le comportement à long terme : chercher les points fixes (état d'équilibre), déterminer la monotonie, et appliquer le théorème adapté (suites monotones bornées, suite géométrique, etc.) pour conclure à la convergence ou à la divergence.
Comment appliquer le théorème de convergence des suites monotones bornées ?Voir
4
Interpréter le résultat dans le contexte du problème : la limite représente l'état d'équilibre (population stabilisée, capital limite, etc.) ou l'absence de limite signifie que le phénomène diverge (croissance sans borne, extinction, oscillation).

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Exercice d'exemple

Une population de bactéries est multipliée par $1{,}5$ chaque heure. La population initiale est $P_0 = 200$ bactéries. Exprimer $P_n$ en fonction de $n$ et étudier son comportement.

Étape 1 —

Lire attentivement l'énoncé pour identifier la grandeur modélisée (population, capital, concentration, etc.), l'indice

n

(année, génération, etc.) et la loi d'évolution (taux de croissance, relation entre états successifs).

$P_n$ représente la population (en nombre de bactéries) après $n$ heures. La loi est : chaque heure, la population est multipliée par $1{,}5$ .

Étape 2 —

Traduire la loi d'évolution en une relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

ou en une formule explicite

u_n = g(n)

, en vérifiant les conditions initiales

u_0

(ou

u_1

La relation de récurrence est $P_{n+1} = 1{,}5 \cdot P_n$ , avec $P_0 = 200$ . C'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}5$ et de premier terme $200$ . La formule explicite est $P_n = 200 \times 1{,}5^n$ .

Étape 3 —

Étudier le comportement à long terme : chercher les points fixes (état d'équilibre), déterminer la monotonie, et appliquer le théorème adapté (suites monotones bornées, suite géométrique, etc.) pour conclure à la convergence ou à la divergence.

La raison est $q = 1{,}5 > 1$ , donc $q^n \to +\infty$ . Par conséquent $P_n \to +\infty$ .

Étape 4 —

Interpréter le résultat dans le contexte du problème : la limite représente l'état d'équilibre (population stabilisée, capital limite, etc.) ou l'absence de limite signifie que le phénomène diverge (croissance sans borne, extinction, oscillation).

La population croît indéfiniment (croissance exponentielle). Ce modèle est réaliste à court terme mais irréaliste à long terme (les ressources sont limitées).

$P_n = 200 \times 1{,}5^n \to +\infty$ . La population croît sans limite.

Application guidée

Un capital $C_0 = 5000$ \text{€} est placé chaque année. Chaque année, des intérêts de $2\%$ sont ajoutés et on retire $200$ \text{€}. Modéliser par une suite et étudier la convergence.

Application autonome 1

Une espèce animale a un taux de natalité de $20\%$ et un taux de mortalité de $10\%$ par an. La population initiale est $N_0 = 1000$ . Modéliser et étudier.

Application autonome 2

Un médicament a une concentration initiale de $C_0 = 80$ mg/L dans le sang. Chaque heure, la concentration diminue de $30\%$ et on administre $10$ mg/L. Modéliser et trouver l'état d'équilibre.

Application autonome 3

Une ville a une population de $u_0 = 50\,000$ habitants. Chaque décennie, $15\%$ de la population part en zone rurale et $8\,000$ nouveaux habitants arrivent. Modéliser et étudier la convergence.

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