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Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?

En montrant que la suite est monotone et bornée, concluant à la convergence, puis en identifiant la limite ℓ\ell via l'équation ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell)

L'objectif

Montrer qu'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) converge et identifier sa limite.

Le principe

Toute suite monotone et bornée converge (théorème de la limite monotone). Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et ff est continue, alors en passant à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), on obtient ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).

La méthode
  1. 1
    Montrer que la suite est monotone (par exemple en étudiant le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n, souvent grâce à une récurrence ou à l'étude de ff).
    Voir
  2. 2
    Montrer que la suite est bornée (par récurrence ou en combinant monotonie et valeur initiale) : minorant si croissante, majorant si décroissante.
    Voir
  3. 3
    Conclure que la suite converge vers une limite ℓ\ell (théorème des suites monotones bornées).
    Voir
  4. 4
    Passer à la limite dans la relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell). Résoudre cette équation et, si plusieurs solutions, choisir celle qui est cohérente avec les valeurs de la suite (signe, encadrement).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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