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Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?

En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation AB⃗⋅AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)

L'objectif

Calculer AB⃗⋅AC⃗\vec{AB}\cdot\vec{AC} à partir des seules longueurs ABAB, ACAC et BCBC, notamment dans un triangle donné par ses côtés.

Le principe

La formule de polarisation donne AB⃗⋅AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2), valable dans tout triangle ABCABC sans hypothèse sur le repère. On dispose aussi de la forme symétrique AB⃗⋅AC⃗=12(∥AB⃗+AC⃗∥2−AB2−AC2)\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(\|\vec{AB}+\vec{AC}\|^2 - AB^2 - AC^2).

La méthode
  1. 1
    Identifier les trois longueurs ABAB, ACAC et BCBC du triangle (données ou à calculer avec la formule de distance).
    Voir
  2. 2
    Appliquer la formule de polarisation : AB⃗⋅AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2).
    Voir
  3. 3
    Calculer AB2AB^2, AC2AC^2, BC2BC^2, puis effectuer l'opération pour obtenir la valeur du produit scalaire.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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