En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$

Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ à partir des seules longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ , notamment dans un triangle donné par ses côtés.

L'objectif

Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ à partir des seules longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ , notamment dans un triangle donné par ses côtés.

Le principe

La formule de polarisation donne $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ , valable dans tout triangle $ABC$ sans hypothèse sur le repère. On dispose aussi de la forme symétrique $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(\|\vec{AB}+\vec{AC}\|^2 - AB^2 - AC^2)$ .

La méthode

1
Identifier les trois longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ du triangle (données ou à calculer avec la formule de distance).
Comment calculer la distance entre deux points de l'espace ?Voir
2
Appliquer la formule de polarisation : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Calculer $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ , puis effectuer l'opération pour obtenir la valeur du produit scalaire.
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Triangle équilatéral de côté 2

Étape 1 —

Identifier les trois longueurs

AB

AC

BC

du triangle (données ou à calculer avec la formule de distance).

Dans le triangle équilatéral $ABC$ de côté $2$ : $AB = AC = BC = 2$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule de polarisation :

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)

On applique : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(4 + 4 - 4) = \frac{1}{2}\times 4$ .

Étape 3 —

Calculer

AB^2

AC^2

BC^2

, puis effectuer l'opération pour obtenir la valeur du produit scalaire.

Donc $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2$ . (Cohérence : $\cos 60° = \frac{1}{2}$ , norme $2$ , donc produit $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$ .)

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2$

Application guidée

Exemple 2 — Triangle rectangle isocèle

Application autonome 1

Exemple 3 — Triangle avec $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$

Application autonome 2

Exemple 4 — Triangle $AB = 5$ , $AC = 6$ , $BC = 7$

Application autonome 3

Exemple 5 — Développement par bilinéarité : calculer $\vec{AB}\cdot\vec{CD}$

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En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation AB⃗⋅AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)AB⋅AC=21​(AB2+AC2−BC2)

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En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$