Orthogonalité et distances dans l'espace

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ par les coordonnées, par les normes et l'angle, ou par la formule de polarisation.

Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?

Montrer que deux vecteurs de l'espace sont perpendiculaires en calculant leur produit scalaire.

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires dans l'espace ?

Montrer que deux droites de l'espace sont perpendiculaires (leurs directions sont orthogonales), même si elles ne se coupent pas.

Comment démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?

Montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan en utilisant le vecteur directeur de la droite et deux vecteurs non colinéaires du plan, ou en identifiant un vecteur normal.

Comment calculer la distance entre deux points de l'espace ?

Calculer la longueur $d(A,B)$ entre deux points $A$ et $B$ de coordonnées connues dans un repère orthonormé de l'espace.

Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?

Calculer l'angle entre deux vecteurs (valeur dans $[0;\pi]$), entre deux droites ou entre deux plans (valeur dans $[0;\pi/2]$) à l'aide du produit scalaire.

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Déterminer le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite de l'espace.

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Déterminer le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point sur un plan de l'espace.

Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?

Calculer la distance minimale entre un point et une droite ou un plan de l'espace.

Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?

Calculer l'aire d'un triangle ou le volume d'une pyramide/tétraèdre dans un repère orthonormé de l'espace.