Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?

En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ )

L'objectif

Calculer la limite d'une expression en la décomposant en sous-limites connues.

Le principe

Si $\lim f = \ell$ et $\lim g = m$ (finies ou infinies, sans forme indéterminée), alors les limites de $f+g$ , $f \times g$ , $f/g$ et $g \circ f$ se calculent directement par les théorèmes d'opérations.

La méthode

1
Identifier la forme de l'expression : somme, produit, quotient ou composée.
2
Calculer la limite de chaque sous-expression en utilisant les limites de référence : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ , $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ , $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ , etc.
3
Vérifier qu'il n'y a pas de forme indéterminée ( $\infty - \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ ). Si c'est le cas, passer à la méthode de levée de forme indéterminée.
Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?Voir
4
Combiner les limites partielles via les théorèmes d'opérations et conclure.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, exp⁡\expexp, ln⁡\lnln, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos)

Exemple corrigé

En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ )