Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ? | MetMat

Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?

En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ )

Calculer la limite d'une expression en la décomposant en sous-limites connues.

L'objectif

Calculer la limite d'une expression en la décomposant en sous-limites connues.

Le principe

Si $\lim f = \ell$ et $\lim g = m$ (finies ou infinies, sans forme indéterminée), alors les limites de $f+g$ , $f \times g$ , $f/g$ et $g \circ f$ se calculent directement par les théorèmes d'opérations.

La méthode

1
Identifier la forme de l'expression : somme, produit, quotient ou composée.
2
Calculer la limite de chaque sous-expression en utilisant les limites de référence : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ , $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ , $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ , etc.
3
Vérifier qu'il n'y a pas de forme indéterminée ( $\infty - \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ ). Si c'est le cas, passer à la méthode de levée de forme indéterminée.
Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?Voir
4
Combiner les limites partielles via les théorèmes d'opérations et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5x - 2)$ .

Étape 1 —

Identifier la forme de l'expression : somme, produit, quotient ou composée.

L'expression est une somme : $3x^2 + 5x - 2$ .

Étape 2 —

Calculer la limite de chaque sous-expression en utilisant les limites de référence :

\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty

\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty

\lim_{x \to 0} \sin x = 0

\lim_{x \to 0} \cos x = 1

, etc.

$\lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} 5x = +\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} (-2) = -2$ .

Étape 3 —

Vérifier qu'il n'y a pas de forme indéterminée (

\infty - \infty

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

0 \times \infty

). Si c'est le cas, passer à la méthode de levée de forme indéterminée.

Pas de forme indéterminée : somme $+\infty + (+\infty) + (-2)$ .

Étape 4 —

Combiner les limites partielles via les théorèmes d'opérations et conclure.

$\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5x - 2) = +\infty$ .

$\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5x - 2) = +\infty$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} e^{-2x+3}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to 0^+} \ln(3x)$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x + 1}{e^x + x}$ .

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En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, exp⁡\expexp, ln⁡\lnln, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ )