Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ? | MetMat

Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ?

En cherchant la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de $(I_n)$ par encadrement pour trouver la limite

Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite $(I_n)$ définie par des intégrales dépendant du paramètre $n$ .

L'objectif

Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite $(I_n)$ définie par des intégrales dépendant du paramètre $n$ .

Le principe

On exploite la formule d'IPP pour relier $I_{n+1}$ à $I_n$ , et on utilise la croissance de l'intégrale pour encadrer $I_n$ et déterminer sa limite.

La méthode

1
Calculer $I_0$ (ou $I_1$ ) directement comme valeur initiale de la suite.
2
Établir la relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$ (par IPP, en posant $u$ et $v'$ adaptés, ou par linéarité).
Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?Voir
3
Étudier la monotonie de $(I_n)$ : montrer que $I_{n+1} - I_n$ ou $\dfrac{I_{n+1}}{I_n}$ garde un signe constant, en utilisant un encadrement de l'intégrande.
4
Trouver la limite de $(I_n)$ : encadrer $I_n$ par des termes dont la limite est connue, ou utiliser le théorème des gendarmes.
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $I_n = \int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x$ . Calculer $I_0$ , établir la relation $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ , puis étudier la suite $(I_n)$ .

Étape 1 —

Calculer

I_0

(ou

I_1

) directement comme valeur initiale de la suite.

$I_0 = \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e - 1$ .

Étape 2 —

Établir la relation de récurrence entre

I_{n+1}

I_n

(par IPP, en posant

u

v'

adaptés, ou par linéarité).

IPP avec $u = x^{n+1}$ , $v' = e^x$ : $I_{n+1} = [x^{n+1} e^x]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x = e - (n+1)I_n$ .

Étape 3 —

Étudier la monotonie de

(I_n)

: montrer que

I_{n+1} - I_n

\dfrac{I_{n+1}}{I_n}

garde un signe constant, en utilisant un encadrement de l'intégrande.

Sur $[0,1]$ , $0 \leq x^n e^x \leq e$ donc $0 \leq I_n \leq e$ . De plus $x^{n+1} \leq x^n$ sur $[0,1]$ donc la suite $(I_n)$ est décroissante.

Étape 4 —

Trouver la limite de

(I_n)

: encadrer

I_n

par des termes dont la limite est connue, ou utiliser le théorème des gendarmes.

$(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$ , donc converge. En encadrant : $0 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n e\,\mathrm{d}x = \dfrac{e}{n+1} \to 0$ . Par gendarmes, $I_n \to 0$ .

$I_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$

Application guidée

Soit $J_n = \int_0^1 x^n(1-x)\,\mathrm{d}x$ . Calculer $J_n$ directement, puis étudier la suite.

Application autonome 1

Soit $I_n = \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$ pour $n \in \mathbb{N}$ . Calculer $I_0$ , établir la relation $I_{n+1} + I_n = \dfrac{1}{n+1}$ , puis étudier la monotonie et la limite de $(I_n)$ .

Application autonome 2

Soit $K_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,\mathrm{d}x$ pour $n \geq 0$ . Calculer $K_0$ et $K_1$ , établir $K_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}K_n$ , puis montrer que $(K_n)$ est décroissante et converge vers $0$ .

Application autonome 3

Soit $L_n = \int_0^1 (1 - x^2)^n\,\mathrm{d}x$ pour $n \geq 0$ . Calculer $L_0$ , établir $L_{n+1} = \dfrac{2n+2}{2n+3}L_n$ par IPP, puis étudier $(L_n)$ .

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En cherchant la relation entre In+1I_{n+1}In+1​ et InI_nIn​ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de (In)(I_n)(In​) par encadrement pour trouver la limite

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En cherchant la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de $(I_n)$ par encadrement pour trouver la limite