Comment étudier une suite d'intégrales vérifiant une relation de récurrence ?
Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite définie par des intégrales dépendant du paramètre .
Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite définie par des intégrales dépendant du paramètre .
On exploite la formule d'IPP pour relier à , et on utilise la croissance de l'intégrale pour encadrer et déterminer sa limite.
Soit . Calculer , établir la relation , puis étudier la suite .
.
IPP avec , : .
Sur , donc . De plus sur donc la suite est décroissante.
est décroissante et minorée par , donc converge. En encadrant : . Par gendarmes, .
Soit . Calculer directement, puis étudier la suite.
Soit pour . Calculer , établir la relation , puis étudier la monotonie et la limite de .
Soit pour . Calculer et , établir , puis montrer que est décroissante et converge vers .
Soit pour . Calculer , établir par IPP, puis étudier .
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