En cherchant les points où $f''$ s'annule et change de signe

Trouver et caractériser les points d'inflexion d'une courbe, c'est-à-dire les points où la courbe change de sens de courbure.

L'objectif

Trouver et caractériser les points d'inflexion d'une courbe, c'est-à-dire les points où la courbe change de sens de courbure.

Le principe

Un point $(a, f(a))$ est un point d'inflexion si et seulement si $f''$ s'annule en $a$ et change de signe en $a$ (passage de convexe à concave ou inversement).

La méthode

1
Calculer $f''(x)$ en dérivant deux fois $f$ .
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Résoudre $f''(x) = 0$ pour trouver les candidats $x = a$ .
3
Vérifier que $f''$ change de signe en chaque candidat $a$ en dressant un tableau de signe de $f''$ . Si $f''$ ne change pas de signe, le point n'est pas un point d'inflexion.
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
4
Calculer les coordonnées du point d'inflexion : $(a, f(a))$ , et donner l'équation de la tangente en ce point : $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Trouver les points d'inflexion de $f(x) = x^3 - 3x$ .

Étape 1 —

Calculer

f''(x)

en dérivant deux fois

f

$f'(x) = 3x^2 - 3$ , $f''(x) = 6x$ .

Étape 2 —

Résoudre

f''(x) = 0

pour trouver les candidats

x = a

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Étape 3 —

Vérifier que

f''

change de signe en chaque candidat

a

en dressant un tableau de signe de

f''

. Si

f''

ne change pas de signe, le point n'est pas un point d'inflexion.

$f''$ change bien de signe en $x = 0$ (de $-$ à $+$ ).

Étape 4 —

Calculer les coordonnées du point d'inflexion :

(a, f(a))

, et donner l'équation de la tangente en ce point :

y = f(a) + f'(a)(x - a)

Le point d'inflexion est $(0, f(0)) = (0, 0)$ . La tangente en ce point : $f'(0) = -3$ , donc $y = -3x$ .

Le point d'inflexion est $I(0, 0)$ , tangente d'équation $y = -3x$ .

Application guidée

Trouver les points d'inflexion de $f(x) = x^4 - 6x^2$ .

Application autonome 1

Trouver les points d'inflexion de $f(x) = xe^{-x}$ .

Application autonome 2

Étudier si $f(x) = x^4$ possède un point d'inflexion en $x = 0$ .

Application autonome 3

Trouver les points d'inflexion de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En cherchant les points où f′′f''f′′ s'annule et change de signe

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant les points où $f''$ s'annule et change de signe