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Comment esquisser l'allure d'une courbe à partir des tableaux de ff, f′f', f′′f'' ?

En construisant les tableaux de variations de f′f' et f′′f'' pour repérer les extrema, les points d'inflexion et la concavité, puis en traçant la courbe de ff

L'objectif

Dresser une étude complète de ff incluant convexité et points d'inflexion, et esquisser l'allure de sa courbe représentative.

Le principe

Le tableau de f′′f'' complète le tableau de f′f' : les zéros de f′f' donnent les extrema locaux, les zéros de f′′f'' (avec changement de signe) donnent les points d'inflexion. La courbe est convexe là où f′′>0f'' > 0 et concave là où f′′<0f'' < 0.

La méthode
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    Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x). Déterminer le domaine de définition et calculer les limites aux bornes.
    Voir
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    Étudier le signe de f′(x)f'(x) pour dresser le tableau de variations de ff, et repérer les extrema locaux (points où f′f' s'annule et change de signe).
  3. 3
    Étudier le signe de f′′(x)f''(x) pour déterminer les intervalles de convexité et de concavité, et identifier les points d'inflexion (où f′′f'' s'annule et change de signe).
    Voir
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    Calculer les coordonnées des points remarquables : extrema (a,f(a))(a, f(a)) avec f′(a)=0f'(a) = 0, points d'inflexion (b,f(b))(b, f(b)) avec f′′(b)=0f''(b) = 0 et changement de signe.
    Voir
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    Tracer la courbe en plaçant les points remarquables, en respectant le sens de variation (croissant/décroissant), la courbure (convexe/concave), et les tangentes horizontales aux extrema.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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