Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ a une unique solution ? | MetMat

Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ a une unique solution ?

En montrant que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle, puis en appliquant le TVI dans sa version pour fonctions strictement monotones (existence et unicité)

Montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une et une seule solution dans un intervalle $I$ .

L'objectif

Montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une et une seule solution dans un intervalle $I$ .

Le principe

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors pour toute valeur $k$ dans l'image de $I$ , l'équation $f(x) = k$ admet une et une seule solution dans $I$ ; l'unicité découle du fait qu'une fonction strictement monotone ne peut pas prendre deux fois la même valeur.

La méthode

1
Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ (fonctions usuelles ou calcul de limite).
2
Montrer que $f$ est strictement monotone sur $I$ (en étudiant le signe de $f'$ si $f$ est dérivable, ou par un argument direct).
3
Appliquer le TVI : calculer $f$ aux bornes de $I$ (ou montrer que $k$ est dans l'image de $f$ sur $I$ ) pour garantir l'existence d'une solution.
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?Voir
4
Conclure à l'unicité : une fonction strictement monotone est injective, donc elle ne peut prendre la valeur $k$ qu'au plus une fois. L'équation $f(x) = k$ admet ainsi une et une seule solution dans $I$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution réelle.

Étape 1 —

Montrer que

f

est continue sur l'intervalle

I

(fonctions usuelles ou calcul de limite).

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Montrer que

f

est strictement monotone sur

I

(en étudiant le signe de

f'

f

est dérivable, ou par un argument direct).

$f'(x) = 3x^2 + 1$ . Comme $3x^2 \geq 0$ , on a $f'(x) \geq 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Appliquer le TVI : calculer

f

aux bornes de

I

(ou montrer que

k

est dans l'image de

f

sur

I

) pour garantir l'existence d'une solution.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , donc par le TVI, il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f(c) = 0$ .

Étape 4 —

Conclure à l'unicité : une fonction strictement monotone est injective, donc elle ne peut prendre la valeur

k

qu'au plus une fois. L'équation

f(x) = k

admet ainsi une et une seule solution dans

I

$f$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , elle est injective : cette solution $c$ est unique. L'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet donc une unique solution réelle.

L'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution réelle (dans $]0,1[$ ).

Application guidée

Montrer que l'équation $e^x + x = 0$ admet une unique solution réelle.

Application autonome 1

Montrer que l'équation $\ln x = 3 - x$ admet une unique solution dans $]0, +\infty[$ .

Application autonome 2

Montrer que l'équation $x^5 - 5x + 3 = 0$ admet exactement trois solutions réelles en étudiant les intervalles de monotonie.

Application autonome 3

Montrer que l'équation $\ln x + x = 2$ admet une unique solution dans $]0, +\infty[$ .

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En montrant que fff est continue et strictement monotone sur l'intervalle, puis en appliquant le TVI dans sa version pour fonctions strictement monotones (existence et unicité)

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En montrant que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle, puis en appliquant le TVI dans sa version pour fonctions strictement monotones (existence et unicité)