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Comment étudier une suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) et sa limite en utilisant la continuité ?

En montrant que ff est continue et envoie un intervalle II dans lui-même, puis en appliquant le théorème de convergence, et en identifiant la limite ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) grâce à la continuité de ff

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) en exploitant la continuité de ff et en identifiant le point fixe ℓ\ell tel que f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.

Le principe

Si ff est continue sur un intervalle II stable par ff (i.e. f(I)⊂If(I) \subset I) et si la suite (un)(u_n) est monotone et bornée (donc convergente), alors en passant à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) et en utilisant la continuité de ff, on obtient ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) où ℓ=lim⁡un\ell = \lim u_n.

La méthode
  1. 1
    Je montre que ff est continue sur un intervalle II et que f(I)⊂If(I) \subset I (stabilité) : pour tout x∈Ix \in I, f(x)∈If(x) \in I. J'en déduis par récurrence que un∈Iu_n \in I pour tout nn.
  2. 2
    J'étudie le sens de variation de la suite (un)(u_n) : je calcule un+1−un=f(un)−unu_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n et je détermine son signe, ou j'utilise la monotonie de ff pour établir la monotonie de la suite par récurrence.
  3. 3
    Je conclus à la convergence : la suite est monotone et bornée (car un∈Iu_n \in I et II est borné), donc elle converge vers une limite ℓ∈I\ell \in I.
    Voir
  4. 4
    Je passe à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : par continuité de ff, ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell). Je résous cette équation pour trouver ℓ\ell, et je conclus.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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