En identifiant $E(X) = \mu$ et $V(X)$ , en choisissant $\varepsilon > 0$ , puis en appliquant $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$

Majorer la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon$ .

L'objectif

Majorer la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon$ .

Le principe

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que pour toute variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$ , et pour tout $\varepsilon > 0$ : $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Identifier l'espérance $\mu = E(X)$ et la variance $V(X)$ de la variable aléatoire $X$ (à partir de la loi, ou des formules connues pour les lois usuelles).
Comment calculer l'espérance et la variance de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
2
Repérer la valeur de $\varepsilon > 0$ donnée dans l'énoncé (écart à l'espérance que l'on cherche à contrôler).
3
Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
4
Calculer numériquement le membre de droite $\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ et interpréter : la probabilité de s'écarter de $\mu$ d'au moins $\varepsilon$ est au plus égale à cette valeur.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}4)$ . Majorer $P(|X - 40| \geq 5)$ .

Étape 1 —

Identifier l'espérance

\mu = E(X)

et la variance

V(X)

de la variable aléatoire

X

(à partir de la loi, ou des formules connues pour les lois usuelles).

Pour $X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}4)$ , on a $\mu = E(X) = 100 \times 0{,}4 = 40$ et $V(X) = 100 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 24$ .

Étape 2 —

Repérer la valeur de

\varepsilon > 0

donnée dans l'énoncé (écart à l'espérance que l'on cherche à contrôler).

L'énoncé demande de majorer $P(|X - 40| \geq 5)$ , donc $\varepsilon = 5$ .

Étape 3 —

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - 40| \geq 5) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2} = \dfrac{24}{25}$ .

Étape 4 —

Calculer numériquement le membre de droite

\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}

et interpréter : la probabilité de s'écarter de

\mu

d'au moins

\varepsilon

est au plus égale à cette valeur.

$\dfrac{24}{25} = 0{,}96$ . On conclut : $P(|X - 40| \geq 5) \leq 0{,}96$ . Cette borne est large (c'est une majoration, pas la valeur exacte).

$P(|X - 40| \geq 5) \leq \dfrac{24}{25} = 0{,}96$

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}4)$ . Majorer $P(|X - 40| \geq 10)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 5$ et $V(X) = 4$ . Majorer $P(|X - 5| \geq 2)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 5$ et $V(X) = 4$ . Majorer $P(|X - 5| \geq 4)$ , puis comparer avec la valeur exacte $0{,}04$ (supposée connue).

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}4)$ . Majorer $P(X \leq 30)$ en utilisant Bienaymé-Tchebychev.

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En identifiant E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ et V(X)V(X)V(X), en choisissant ε>0\varepsilon > 0ε>0, puis en appliquant P(∣X−μ∣≥ε)≤V(X)ε2P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}P(∣X−μ∣≥ε)≤ε2V(X)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant $E(X) = \mu$ et $V(X)$ , en choisissant $\varepsilon > 0$ , puis en appliquant $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$