Comment résoudre un système linéaire à l'aide du calcul matriciel ?

En écrivant le système sous forme matricielle $AX = B$ , en calculant $A^{-1}$ , puis en obtenant $X = A^{-1}B$

L'objectif

Résoudre un système de $n$ équations à $n$ inconnues en utilisant l'inverse de la matrice des coefficients.

Le principe

Si la matrice $A$ des coefficients est inversible, le système $AX = B$ admet une unique solution $X = A^{-1}B$ (obtenue en multipliant à gauche par $A^{-1}$ ).

La méthode

1
Écrire le système sous forme matricielle $AX = B$ : identifier la matrice des coefficients $A$ , le vecteur des inconnues $X$ et le vecteur des termes constants $B$ .
2
Calculer $\det(A)$ . Si $\det(A) \neq 0$ , calculer $A^{-1}$ (formule $2 \times 2$ ou Gauss-Jordan pour $3 \times 3$ ).
Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?Voir
3
Calculer $X = A^{-1}B$ par multiplication matricielle (produit matrice × vecteur).
4
Vérifier la solution en substituant les valeurs trouvées dans le système initial.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En écrivant le système sous forme matricielle AX=BAX = BAX=B, en calculant A−1A^{-1}A−1, puis en obtenant X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B

Exemple corrigé

En écrivant le système sous forme matricielle $AX = B$ , en calculant $A^{-1}$ , puis en obtenant $X = A^{-1}B$