Comment résoudre un système linéaire à l'aide du calcul matriciel ? | MetMat

Comment résoudre un système linéaire à l'aide du calcul matriciel ?

En écrivant le système sous forme matricielle $AX = B$ , en calculant $A^{-1}$ , puis en obtenant $X = A^{-1}B$

Résoudre un système de $n$ équations à $n$ inconnues en utilisant l'inverse de la matrice des coefficients.

L'objectif

Résoudre un système de $n$ équations à $n$ inconnues en utilisant l'inverse de la matrice des coefficients.

Le principe

Si la matrice $A$ des coefficients est inversible, le système $AX = B$ admet une unique solution $X = A^{-1}B$ (obtenue en multipliant à gauche par $A^{-1}$ ).

La méthode

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Écrire le système sous forme matricielle $AX = B$ : identifier la matrice des coefficients $A$ , le vecteur des inconnues $X$ et le vecteur des termes constants $B$ .
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Calculer $\det(A)$ . Si $\det(A) \neq 0$ , calculer $A^{-1}$ (formule $2 \times 2$ ou Gauss-Jordan pour $3 \times 3$ ).
Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?Voir
3
Calculer $X = A^{-1}B$ par multiplication matricielle (produit matrice × vecteur).
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Vérifier la solution en substituant les valeurs trouvées dans le système initial.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $\begin{cases}2x + y = 5 \\ x + y = 3\end{cases}$ par la méthode matricielle.

Étape 1 —

Écrire le système sous forme matricielle

AX = B

: identifier la matrice des coefficients

A

, le vecteur des inconnues

X

et le vecteur des termes constants

B

$A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ , $X = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Calculer

\det(A)

. Si

\det(A) \neq 0

, calculer

A^{-1}

(formule

2 \times 2

ou Gauss-Jordan pour

3 \times 3

$\det(A) = 2-1 = 1 \neq 0$ , donc $A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Calculer

X = A^{-1}B

par multiplication matricielle (produit matrice × vecteur).

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-3 \\ -5+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Vérifier la solution en substituant les valeurs trouvées dans le système initial.

Vérification : $2(2)+1 = 5$ ✓ et $2+1 = 3$ ✓.

$x = 2$ , $y = 1$

Application guidée

Résoudre $\begin{cases}3x + 2y = 7 \\ x + y = 3\end{cases}$ .

Application autonome 1

Résoudre le système $\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2y + z = 7 \\ 2z = 4\end{cases}$ .

Application autonome 2

Résoudre $\begin{cases}x + 2y = 4 \\ 3x + 5y = 9\end{cases}$ .

Application autonome 3

Résoudre $\begin{cases}4x + 3y = 10 \\ 2x + y = 4\end{cases}$ par la méthode matricielle.

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En écrivant le système sous forme matricielle AX=BAX = BAX=B, en calculant A−1A^{-1}A−1, puis en obtenant X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant le système sous forme matricielle $AX = B$ , en calculant $A^{-1}$ , puis en obtenant $X = A^{-1}B$