Comment résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue ?

En factorisant $P(z) = (z - r) \cdot Q(z)$ par division euclidienne (où $r$ est la racine connue), puis en résolvant $Q(z) = 0$ (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)

L'objectif

Résoudre complètement dans $\mathbb{C}$ une équation $P(z) = 0$ de degré 3 à coefficients réels dont une racine $r$ est connue.

Le principe

Si $P(r) = 0$ , on écrit $P(z) = (z-r)Q(z)$ par division euclidienne ; à coefficients réels, $Q$ est de degré 2 et ses racines (si complexes) sont conjuguées.

La méthode

1
Vérifier que $r$ est bien racine de $P$ en calculant $P(r) = 0$ .
2
Effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - r)$ pour obtenir le polynôme $Q(z)$ de degré 2 tel que $P(z) = (z-r)Q(z)$ .
3
Résoudre $Q(z) = 0$ en calculant son discriminant $\Delta'$ . Si $\Delta' < 0$ , les deux autres racines de $P$ sont complexes conjuguées $z = \frac{-b' \pm i\sqrt{-\Delta'}}{2a'}$ .
Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?Voir
4
Conclure en listant les trois racines de $P$ et écrire la factorisation complète $P(z) = a(z-r)(z-z_1)(z-z_2)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En factorisant P(z)=(z−r)⋅Q(z)P(z) = (z - r) \cdot Q(z)P(z)=(z−r)⋅Q(z) par division euclidienne (où rrr est la racine connue), puis en résolvant Q(z)=0Q(z) = 0Q(z)=0 (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)

Exemple corrigé

En factorisant $P(z) = (z - r) \cdot Q(z)$ par division euclidienne (où $r$ est la racine connue), puis en résolvant $Q(z) = 0$ (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)