Comment résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue ? | MetMat

Comment résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue ?

En factorisant $P(z) = (z - r) \cdot Q(z)$ par division euclidienne (où $r$ est la racine connue), puis en résolvant $Q(z) = 0$ (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)

Résoudre complètement dans $\mathbb{C}$ une équation $P(z) = 0$ de degré 3 à coefficients réels dont une racine $r$ est connue.

L'objectif

Résoudre complètement dans $\mathbb{C}$ une équation $P(z) = 0$ de degré 3 à coefficients réels dont une racine $r$ est connue.

Le principe

Si $P(r) = 0$ , on écrit $P(z) = (z-r)Q(z)$ par division euclidienne ; à coefficients réels, $Q$ est de degré 2 et ses racines (si complexes) sont conjuguées.

La méthode

1
Vérifier que $r$ est bien racine de $P$ en calculant $P(r) = 0$ .
2
Effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - r)$ pour obtenir le polynôme $Q(z)$ de degré 2 tel que $P(z) = (z-r)Q(z)$ .
3
Résoudre $Q(z) = 0$ en calculant son discriminant $\Delta'$ . Si $\Delta' < 0$ , les deux autres racines de $P$ sont complexes conjuguées $z = \frac{-b' \pm i\sqrt{-\Delta'}}{2a'}$ .
Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?Voir
4
Conclure en listant les trois racines de $P$ et écrire la factorisation complète $P(z) = a(z-r)(z-z_1)(z-z_2)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 - 1 = 0$ , sachant que $1$ est racine.

Étape 1 —

Vérifier que

r

est bien racine de

P

en calculant

P(r) = 0

$P(1) = 1 - 1 = 0$ . ✓

Étape 2 —

Effectuer la division euclidienne de

P(z)

par

(z - r)

pour obtenir le polynôme

Q(z)

de degré 2 tel que

P(z) = (z-r)Q(z)

$z^3 - 1 = (z-1)(z^2+z+1)$ (identité $z^3-1^3$ ). D'où $Q(z) = z^2+z+1$ .

Étape 3 —

Résoudre

Q(z) = 0

en calculant son discriminant

\Delta'

. Si

\Delta' < 0

, les deux autres racines de

P

sont complexes conjuguées

z = \frac{-b' \pm i\sqrt{-\Delta'}}{2a'}

$\Delta' = 1 - 4 = -3 < 0$ . Racines de $Q$ : $z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ , notées $j = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\bar{j} = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 4 —

Conclure en listant les trois racines de

P

et écrire la factorisation complète

P(z) = a(z-r)(z-z_1)(z-z_2)

Les trois racines cubiques de $1$ sont $1$ , $j$ , $\bar{j}$ . Factorisation : $z^3-1 = (z-1)(z-j)(z-\bar{j})$ .

$z_1 = 1$ , $z_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ , $z_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ .

Application guidée

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 - 6z^2 + 11z - 6 = 0$ , sachant que $1$ est racine.

Application autonome 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 - 3z + 2 = 0$ , sachant que $1$ est racine.

Application autonome 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 + z^2 + z - 3 = 0$ , sachant que $1$ est racine.

Application autonome 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $2z^3 - 5z^2 + 4z - 1 = 0$ , sachant que $\frac{1}{2}$ est racine.

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En factorisant P(z)=(z−r)⋅Q(z)P(z) = (z - r) \cdot Q(z)P(z)=(z−r)⋅Q(z) par division euclidienne (où rrr est la racine connue), puis en résolvant Q(z)=0Q(z) = 0Q(z)=0 (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)

Pour comprendre, fais des exercices !

En factorisant $P(z) = (z - r) \cdot Q(z)$ par division euclidienne (où $r$ est la racine connue), puis en résolvant $Q(z) = 0$ (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)