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Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En calculant arg⁡ ⁣(zC−zAzB−zA)\arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) pour obtenir l'angle orienté (AB→,AC→)^\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}

L'objectif

Calculer l'angle orienté (AB→,AC→)^\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} à partir des affixes zAz_A, zBz_B, zCz_C.

Le principe

L'argument du rapport zC−zAzB−zA\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} donne l'angle orienté de la rotation qui envoie AB→\overrightarrow{AB} sur AC→\overrightarrow{AC}, c'est-à-dire (AB→,AC→)^=arg⁡ ⁣(zC−zAzB−zA)(mod2π)\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} = \arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}.

La méthode
  1. 1
    Former le rapport zC−zAzB−zA\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} et le mettre sous forme algébrique a+iba+ib (en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur si nécessaire).
  2. 2
    Calculer l'argument θ=arg⁡(a+ib)\theta = \arg(a+ib) à l'aide des formules cos⁡θ=aa2+b2\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} et sin⁡θ=ba2+b2\sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, ou reconnaître directement un argument remarquable (0,π2,π30, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, etc.).
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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