Comment inverser un conditionnement avec la formule de Bayes ?

En appliquant $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}$ , où $P(A)$ est calculé au préalable par la formule des probabilités totales

L'objectif

Calculer $P_A(B)$ (probabilité de la cause $B$ sachant l'effet observé $A$ ) à partir des probabilités directes.

Le principe

La formule de Bayes $P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\,P(A)}{P(B)}$ permet d'inverser le sens du conditionnement ; on l'utilise ici sous la forme $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}$ .

La méthode

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Construire l'arbre pondéré et identifier toutes les probabilités connues : $P(B)$ , $P(\bar{B})$ , $P_B(A)$ , $P_{\bar{B}}(A)$ .
2
Calculer $P(A)$ par la formule des probabilités totales : $P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)$ .
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
3
Appliquer la formule de Bayes : $P_A(B) = \dfrac{P(B) \times P_B(A)}{P(A)}$ et simplifier la fraction.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En appliquant PA(B)=PB(A) P(B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}PA​(B)=P(A)PB​(A)P(B)​, où P(A)P(A)P(A) est calculé au préalable par la formule des probabilités totales

Exemple corrigé

En appliquant $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}$ , où $P(A)$ est calculé au préalable par la formule des probabilités totales