Comment diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique réelle (trouver $P$ orthogonale et $D$ diagonale) ? | MetMat

Comment diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique réelle (trouver $P$ orthogonale et $D$ diagonale) ?

En calculant les valeurs propres puis une base orthonormée de chaque sous-espace propre

L'objectif

Calculer explicitement une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = {}^t P A P = P^{-1} A P$ pour $A$ symétrique réelle.

Le principe

Théorème spectral (admis au BO) : toute matrice symétrique réelle $A$ est diagonalisable en base orthonormée ; il existe $P$ orthogonale ( ${}^t P P = I_n$ , donc $P^{-1}={}^t P$ ) et $D$ diagonale telles que $A = P D\,{}^t P$ , les sous-espaces propres étant deux à deux orthogonaux.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est symétrique réelle ( ${}^t A = A$ ), ce qui garantit par le théorème spectral l'existence d'une diagonalisation en base orthonormée.
2
Je détermine les valeurs propres de $A$ en résolvant $\det(A - \lambda I_n) = 0$ ou en exploitant un polynôme annulateur, puis pour chaque valeur propre $\lambda$ , je calcule une base de $E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_n)$ .
3
Dans chaque sous-espace propre de dimension $\geq 2$ , j'orthonormalise la base obtenue (procédé de Gram-Schmidt, non exigible) ; je normalise les vecteurs propres dans les sous-espaces de dimension $1$ .
Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?Voir
4
Je concatène ces bases orthonormées pour former $P$ (orthogonalité entre sous-espaces propres garantie par la symétrie) ; $D$ est la matrice diagonale des valeurs propres dans le même ordre. Je vérifie $A P = P D$ et ${}^t P P = I_n$ .

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Application guidée 1

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (cas avec une valeur propre double).

Application autonome 2

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

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