Comment diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique réelle (trouver $P$ orthogonale et $D$ diagonale) ? | MetMat

Comment diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique réelle (trouver $P$ orthogonale et $D$ diagonale) ?

En calculant les valeurs propres puis une base orthonormée de chaque sous-espace propre

Calculer explicitement une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = {}^t P A P = P^{-1} A P$ pour $A$ symétrique réelle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer explicitement une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D = {}^t P A P = P^{-1} A P$ pour $A$ symétrique réelle.

Le principe

Théorème spectral (admis au BO) : toute matrice symétrique réelle $A$ est diagonalisable en base orthonormée ; il existe $P$ orthogonale ( ${}^t P P = I_n$ , donc $P^{-1}={}^t P$ ) et $D$ diagonale telles que $A = P D\,{}^t P$ , les sous-espaces propres étant deux à deux orthogonaux.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est symétrique réelle ( ${}^t A = A$ ), ce qui garantit par le théorème spectral l'existence d'une diagonalisation en base orthonormée.
2
Je détermine les valeurs propres de $A$ en résolvant $\det(A - \lambda I_n) = 0$ ou en exploitant un polynôme annulateur, puis pour chaque valeur propre $\lambda$ , je calcule une base de $E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_n)$ .
3
Dans chaque sous-espace propre de dimension $\geq 2$ , j'orthonormalise la base obtenue (procédé de Gram-Schmidt, non exigible) ; je normalise les vecteurs propres dans les sous-espaces de dimension $1$ .
Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?Voir
4
Je concatène ces bases orthonormées pour former $P$ (orthogonalité entre sous-espaces propres garantie par la symétrie) ; $D$ est la matrice diagonale des valeurs propres dans le même ordre. Je vérifie $A P = P D$ et ${}^t P P = I_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est symétrique réelle (

{}^t A = A

), ce qui garantit par le théorème spectral l'existence d'une diagonalisation en base orthonormée.

$A$ est symétrique réelle, donc le théorème spectral s'applique.

Étape 2 —

Je détermine les valeurs propres de

A

en résolvant

\det(A - \lambda I_n) = 0

ou en exploitant un polynôme annulateur, puis pour chaque valeur propre

\lambda

, je calcule une base de

E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_n)

$\det(A-\lambda I_2) = (3-\lambda)^2 - 1 = (\lambda-2)(\lambda-4)$ , d'où $\mathrm{Sp}(A) = \{2,4\}$ . $E_2 = \ker(A-2I_2) = \mathrm{Vect}((1,-1))$ et $E_4 = \mathrm{Vect}((1,1))$ .

Étape 3 —

Dans chaque sous-espace propre de dimension

\geq 2

, j'orthonormalise la base obtenue (procédé de Gram-Schmidt, non exigible) ; je normalise les vecteurs propres dans les sous-espaces de dimension

1

Chaque sous-espace est de dimension $1$ . Je normalise : $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ , $u_4 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ , et $\langle u_2,u_4\rangle = 0$ (cohérent avec $\lambda\ne\mu$ ).

Étape 4 —

Je concatène ces bases orthonormées pour former

P

(orthogonalité entre sous-espaces propres garantie par la symétrie) ;

D

est la matrice diagonale des valeurs propres dans le même ordre. Je vérifie

A P = P D

{}^t P P = I_n

$P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ ; on vérifie ${}^t P P = I_2$ et ${}^t P A P = D$ .

$A = P D\,{}^t P$ avec $P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ , $D = \mathrm{diag}(2,4)$ .

Application guidée

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (cas avec une valeur propre double).

Application autonome 2

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Diagonaliser orthogonalement $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

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