Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En exhibant un vecteur non nul $x$ tel que $f(x) = \lambda x$

Construire ou deviner un vecteur non nul satisfaisant l'équation $f(x) = \lambda x$ pour prouver que $\lambda$ est valeur propre.

En montrant que $f - \lambda \mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif

Prouver que $\ker(f - \lambda \mathrm{Id}_E) \neq \{0_E\}$ pour conclure que $\lambda$ est valeur propre.

En utilisant un polynôme annulateur et ses racines

Exploiter le théorème : les valeurs propres sont nécessairement parmi les racines d'un polynôme annulateur, puis tester chaque racine.