Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En utilisant un polynôme annulateur et ses racines

L'objectif

Restreindre les valeurs propres candidates aux racines d'un polynôme annulateur connu, puis vérifier lesquelles sont effectivement valeurs propres.

Le principe

Si $Q \in \mathbb{R}[X]$ vérifie $Q(f) = 0$ (i.e. $Q$ annule $f$ ), alors toute valeur propre $\lambda$ de $f$ est racine de $Q$ ; la réciproque n'est pas automatique, il faut tester.

La méthode

1
J'identifie (ou je démontre) un polynôme annulateur $Q$ de $f$ ou de $A$ , typiquement à partir d'une relation de l'énoncé.
2
Je calcule les racines réelles de $Q$ : ce sont les seules valeurs propres possibles de $f$ .
3
Pour montrer que $\lambda$ est effectivement valeur propre, je teste qu'il existe un vecteur propre non nul associé (par résolution de $(A - \lambda I_n) X = 0$ ).
4
Je conclus en listant les racines qui sont valeurs propres, en mentionnant que celles qui ne le sont pas ont été écartées.

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Application guidée 1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (projecteur). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application guidée 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = I_n$ (symétrie). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application autonome 1

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^3 - 3A^2 + 2A = 0$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 4I_n$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3 - 3A^2 + 2A = 0$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

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