Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ? | MetMat

Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ?

En estimant $P(|\bar X_n - m| \geq \varepsilon)$ par Monte-Carlo pour plusieurs valeurs de $n$

Estimer numériquement la probabilité $P(|\bar X_n - m| \geq \varepsilon)$ et voir qu'elle tend vers $0$ quand $n\to\infty$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour $X_i\sim\mathcal{U}[0,1]$ ( $m=1/2$ , $\sigma^2=1/12$ ) et $\varepsilon=0.05$ , estimer $P(|\bar X_n-1/2|\geq 0.05)$ pour $n\in\{10,50,100,500,1000\}$ avec $M=5000$ .

L'objectif

Estimer numériquement la probabilité $P(|\bar X_n - m| \geq \varepsilon)$ et voir qu'elle tend vers $0$ quand $n\to\infty$ .

Le principe

Si $\bar X_n \xrightarrow{P} m$ , alors pour tout $\varepsilon>0$ , $P(|\bar X_n - m| \geq \varepsilon) \to 0$ ; la fréquence empirique $\frac{1}{M}\sum_{j=1}^M \mathbf{1}_{|\bar X_n^{(j)}-m|\geq\varepsilon}$ converge elle-même vers $P(|\bar X_n - m|\geq\varepsilon)$ (LFGN sur l'indicatrice).

La méthode

1
Je fixe l'écart $\varepsilon$ , le nombre $M$ de répétitions Monte-Carlo et la liste des tailles $n$ à tester, par exemple ns = [10, 50, 100, 500, 1000].
Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ?Voir
2
Pour chaque $n$ , je simule $M\times n$ variables d'un coup avec Y = rd.random((M, n)) (ou la loi voulue) et je calcule les $M$ moyennes via moys = Y.mean(axis=1).
3
J'estime la probabilité par p_hat = np.mean(np.abs(moys - m) >= eps) et je la stocke dans une liste probas.
4
Je trace $n\mapsto \hat p(n)$ avec plt.plot(ns, probas, 'o-'), éventuellement en échelle semi-log, et je compare à la borne de Bienaymé-Tchebychev $\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Pour $X_i\sim\mathcal{U}[0,1]$ ( $m=1/2$ , $\sigma^2=1/12$ ) et $\varepsilon=0.05$ , estimer $P(|\bar X_n-1/2|\geq 0.05)$ pour $n\in\{10,50,100,500,1000\}$ avec $M=5000$ .

Étape 1 —

Je fixe l'écart

\varepsilon

, le nombre

M

de répétitions Monte-Carlo et la liste des tailles

n

à tester, par exemple ns = [10, 50, 100, 500, 1000].

import numpy as np, numpy.random as rd, matplotlib.pyplot as plt
eps, M = 0.05, 5000
ns = [10, 50, 100, 500, 1000]

Étape 2 —

Pour chaque

n

, je simule

M\times n

variables d'un coup avec Y = rd.random((M, n)) (ou la loi voulue) et je calcule les

M

moyennes via moys = Y.mean(axis=1).

probas = []
for n in ns:
    Y = rd.random((M, n))
    moys = Y.mean(axis=1)
    probas.append(np.mean(np.abs(moys - 0.5) >= eps))

Étape 3 —

J'estime la probabilité par p_hat = np.mean(np.abs(moys - m) >= eps) et je la stocke dans une liste probas.

print(list(zip(ns, probas)))

Étape 4 —

Je trace

n\mapsto \hat p(n)

avec plt.plot(ns, probas, 'o-'), éventuellement en échelle semi-log, et je compare à la borne de Bienaymé-Tchebychev

\sigma^2/(n\varepsilon^2)

bound = [1/(12*n*eps**2) for n in ns]
plt.plot(ns, probas, 'o-', label='empirique')
plt.plot(ns, bound, 's--', label='Bienaymé-Tchebychev')
plt.xscale('log'); plt.legend(); plt.show()

$\hat p(n)$ décroît vers $0$ , en deçà de la borne $\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ .

Application guidée

Mêmes courbes pour $X_i\sim\mathcal{E}(1)$ ( $m=1$ , $\sigma^2=1$ ), $\varepsilon=0.1$ .

Application autonome 1

Soient $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(2)$ et $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ . On fixe $\varepsilon = 0{,}2$ . Estimer $P(|\bar{X}_n - 2| \geq \varepsilon)$ par Monte-Carlo pour $n \in \{50, 500, 5000\}$ avec $M = 5000$ répétitions et commenter.

Application autonome 2

Soient $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(1/2)$ et $\bar{X}_n$ la moyenne empirique. Estimer par Monte-Carlo $P(|\bar{X}_n - 1/2| \geq 0{,}05)$ pour $n \in \{50, 500, 5000\}$ avec $M = 2000$ .

Application autonome 3

Soient $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(0, 1)$ et $\varepsilon = 0{,}2$ . Construire une fonction proba_ecart(n, M) qui estime $P(|\bar{X}_n| \geq 0{,}2)$ et afficher l'évolution pour $n$ de $10$ à $1000$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En estimant P(∣Xˉn−m∣≥ε)P(|\bar X_n - m| \geq \varepsilon)P(∣Xˉn​−m∣≥ε) par Monte-Carlo pour plusieurs valeurs de nnn

Pour comprendre, fais des exercices !

En estimant $P(|\bar X_n - m| \geq \varepsilon)$ par Monte-Carlo pour plusieurs valeurs de $n$