Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ? | MetMat

Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ?

En utilisant : si $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert admet un extremum local en $x_0$ , alors $\nabla f(x_0) = 0$

Sélectionner les candidats à un extremum local d'une fonction $\mathcal{C}^1$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ via la condition nécessaire du premier ordre.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3$ sur $\mathbb{R}^2$ . Montrer que $f$ admet un minimum local en son unique point critique et le calculer.

L'objectif

Sélectionner les candidats à un extremum local d'une fonction $\mathcal{C}^1$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ via la condition nécessaire du premier ordre.

Le principe

Si $f \colon U \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ et admet un extremum local en $x_0 \in U$ , alors $\nabla f(x_0) = 0_{\mathbb{R}^n}$ . La réciproque est fausse : un point critique peut être un col (point-selle), donc la condition est nécessaire mais non suffisante.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ .
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?Voir
2
Je détermine tous les points critiques en résolvant $\nabla f(x) = 0$ sur $U$ ; ce sont les seuls candidats à un extremum local intérieur.
Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
3
Pour chaque point critique $x_0$ , je décide s'il s'agit effectivement d'un extremum local : soit en étudiant directement le signe de $f(x)-f(x_0)$ au voisinage, soit via la condition du second ordre (Hessienne).
Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?Voir
4
Je conclus en listant les extrema locaux (minimums, maximums) et en écartant les points critiques qui ne le sont pas (cols).
Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3$ sur $\mathbb{R}^2$ . Montrer que $f$ admet un minimum local en son unique point critique et le calculer.

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

U

est un ouvert de

\mathbb{R}^n

f

est de classe

\mathcal{C}^1

sur

U

$\mathbb{R}^2$ est ouvert et $f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ : la condition nécessaire s'applique.

Étape 2 —

Je détermine tous les points critiques en résolvant

\nabla f(x) = 0

sur

U

; ce sont les seuls candidats à un extremum local intérieur.

$\nabla f(x,y) = (2x-2,\,2y+4)$ s'annule uniquement en $(1,-2)$ : seul candidat à un extremum.

Étape 3 —

Pour chaque point critique

x_0

, je décide s'il s'agit effectivement d'un extremum local : soit en étudiant directement le signe de

f(x)-f(x_0)

au voisinage, soit via la condition du second ordre (Hessienne).

Par forme canonique : $f(x,y) = (x-1)^2 + (y+2)^2 - 2$ ; donc $f(x,y) - f(1,-2) = (x-1)^2 + (y+2)^2 \geq 0$ pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ .

Étape 4 —

Je conclus en listant les extrema locaux (minimums, maximums) et en écartant les points critiques qui ne le sont pas (cols).

$(1,-2)$ est donc un minimum global (et a fortiori local) de $f$ sur $\mathbb{R}^2$ , de valeur $f(1,-2) = -2$ .

$(1,-2)$ est un minimum global de $f$ , $f(1,-2) = -2$ .

Application guidée

Soit $f(x,y) = x^2 - y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ . Montrer que $(0,0)$ est un point critique mais n'est pas un extremum local (point-selle).

Application autonome 1

Déterminer les extrema locaux éventuels de $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 2

Soit $f \colon (x,y) \mapsto (x^2+y^2) \mathrm{e}^{-x^2-y^2}$ . Déterminer le maximum global de $f$ sur $\mathbb{R}^2$ via la condition nécessaire.

Application autonome 3

Soit $f(x, y) = x^2 y + y^2 - 4 y$ sur $\mathbb{R}^2$ . Déterminer les points critiques et étudier leur nature.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant : si fff de classe C1\mathcal{C}^1C1 sur un ouvert admet un extremum local en x0x_0x0​, alors ∇f(x0)=0\nabla f(x_0) = 0∇f(x0​)=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant : si $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert admet un extremum local en $x_0$ , alors $\nabla f(x_0) = 0$