Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ? | MetMat

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?

En développant $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ pour calculer son espérance et identifier son biais

Obtenir $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ et en déduire l'estimateur corrigé $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2$ sans biais de $\sigma^2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Calculer $E(S_n^2)$ et corriger le biais.

L'objectif

Obtenir $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ et en déduire l'estimateur corrigé $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2$ sans biais de $\sigma^2$ .

Le principe

Pour un $n$ -échantillon i.i.d. de $X$ avec $V(X)=\sigma^2$ , la formule de Koenig-Huygens appliquée à $S_n^2$ et le calcul de $E(\overline{X}_n^2) = \sigma^2/n + m^2$ donnent $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .

La méthode

1
Je pose $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2$ et je développe : $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ (identité de Koenig-Huygens).
2
Par linéarité, $E\!\left(\frac{1}{n}\sum X_i^2\right) = E(X_1^2) = \sigma^2 + m^2$ par Koenig-Huygens appliqué à $X_1$ .
3
J'utilise $E(\overline{X}_n^2) = V(\overline{X}_n) + E(\overline{X}_n)^2 = \sigma^2/n + m^2$ , puis $E(S_n^2) = (\sigma^2 + m^2) - (\sigma^2/n + m^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .
4
Je conclus : $S_n^2$ est biaisé de biais $-\sigma^2/n$ , et $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2$ est un estimateur sans biais de $\sigma^2$ .
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Calculer $E(S_n^2)$ et corriger le biais.

Étape 1 —

Je pose

S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2

et je développe :

S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2

(identité de Koenig-Huygens).

Avec $m = p$ et $\sigma^2 = p(1-p)$ , on écrit $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ .

Étape 2 —

Par linéarité,

E\!\left(\frac{1}{n}\sum X_i^2\right) = E(X_1^2) = \sigma^2 + m^2

par Koenig-Huygens appliqué à

X_1

$E(X_1^2) = \sigma^2 + m^2 = p(1-p) + p^2 = p$ (les $X_i$ valant $0$ ou $1$ ).

Étape 3 —

J'utilise

E(\overline{X}_n^2) = V(\overline{X}_n) + E(\overline{X}_n)^2 = \sigma^2/n + m^2

, puis

E(S_n^2) = (\sigma^2 + m^2) - (\sigma^2/n + m^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2

$E(\overline{X}_n^2) = p(1-p)/n + p^2$ , d'où $E(S_n^2) = p - p(1-p)/n - p^2 = \frac{n-1}{n} p(1-p)$ .

Étape 4 —

Je conclus :

S_n^2

est biaisé de biais

-\sigma^2/n

, et

\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2

est un estimateur sans biais de

\sigma^2

L'estimateur corrigé $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2$ est sans biais pour $p(1-p)$ .

$E(S_n^2) = \frac{n-1}{n} p(1-p)$ et $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1}S_n^2$ est sans biais.

Application guidée

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ . Montrer que $\widetilde{S}_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \overline{X}_n)^2$ est sans biais pour $\sigma^2$ .

Application autonome 1

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Calculer le biais de $S_n^2$ comme estimateur de $1/\lambda^2$ .

Application autonome 2

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . On pose $S_n^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 - \bar{X}_n^2$ . Calculer $E(S_n^2)$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Montrer que $S_n^2 = \bar{X}_n(1-\bar{X}_n)$ vérifie $E(S_n^2) = \dfrac{n-1}{n}p(1-p)$ .

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En développant Sn2=1n∑Xi2−X‾n2S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2Sn2​=n1​∑Xi2​−Xn2​ pour calculer son espérance et identifier son biais

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En développant $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ pour calculer son espérance et identifier son biais