Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ? | MetMat

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?

En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$

Établir que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m = E(X)$ de variance $\sigma^2/n$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .

L'objectif

Établir que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m = E(X)$ de variance $\sigma^2/n$ .

Le principe

Pour un $n$ -échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de même loi que $X$ avec $E(X)=m$ et $V(X)=\sigma^2$ , la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance sous indépendance donnent $E(\overline{X}_n)=m$ et $V(\overline{X}_n)=\sigma^2/n$ .

La méthode

1
Je pose $(X_1,\dots,X_n)$ un $n$ -échantillon i.i.d. de $X$ , d'espérance $m = E(X)$ et de variance $\sigma^2 = V(X)$ supposées finies.
2
Je calcule $E(\overline{X}_n) = E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n}\cdot n\cdot m = m$ par linéarité.
3
Par indépendance des $X_i$ , $V\!\left(\sum X_i\right) = \sum V(X_i) = n\sigma^2$ , donc $V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$ .
4
Je conclus : $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $m$ et sa variance $\sigma^2/n$ tend vers $0$ quand $n\to +\infty$ .
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ . Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .

Étape 1 —

Je pose

(X_1,\dots,X_n)

n

-échantillon i.i.d. de

X

, d'espérance

m = E(X)

et de variance

\sigma^2 = V(X)

supposées finies.

On a $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ , donc $E(X_i)=p$ et $V(X_i)=p(1-p)$ , quantités finies.

Étape 2 —

Je calcule

E(\overline{X}_n) = E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n}\cdot n\cdot m = m

par linéarité.

Par linéarité, $E(\overline{X}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n p = p$ .

Étape 3 —

Par indépendance des

X_i

V\!\left(\sum X_i\right) = \sum V(X_i) = n\sigma^2

, donc

V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}

Par indépendance, $V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\overline{X}_n

est un estimateur sans biais de

m

et sa variance

\sigma^2/n

tend vers

0

quand

n\to +\infty

$\overline{X}_n$ est sans biais pour $p$ et $V(\overline{X}_n) = p(1-p)/n \leq 1/(4n) \to 0$ .

$E(\overline{X}_n) = p$ et $V(\overline{X}_n) = p(1-p)/n$ .

Application guidée

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Donner $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .

Application autonome 1

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ . Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $\overline{X}_n$ .

Application autonome 2

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0, \theta])$ . Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .

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En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir E(X‾n)=mE(\overline{X}_n) = mE(Xn​)=m et V(X‾n)=σ2/nV(\overline{X}_n) = \sigma^2/nV(Xn​)=σ2/n

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$