Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à l'aide du TLC ? | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à l'aide du TLC ?

En identifiant $(T_n - g(\theta))/\sigma_n(\theta) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ puis en inversant l'encadrement gaussien

Construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à partir d'un estimateur $T_n$ de $g(\theta)$ vérifiant les hypothèses du TLC.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ un $n$ -échantillon i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Construire un IC asymptotique de $g(\lambda) = 1/\lambda$ au niveau $1-\alpha$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à partir d'un estimateur $T_n$ de $g(\theta)$ vérifiant les hypothèses du TLC.

Le principe

Si $T_n = \overline{X}_n$ moyenne empirique d'un $n$ -échantillon i.i.d. d'espérance $g(\theta)$ et d'écart-type $\sigma(\theta)>0$ , alors $\sqrt{n}\,\dfrac{T_n - g(\theta)}{\sigma(\theta)} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ par le TLC.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC : $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. d'espérance $g(\theta)$ et d'écart-type $\sigma(\theta)>0$ finis, et $T_n = \overline{X}_n$ .
2
J'écris la conclusion du TLC : $Z_n = \sqrt{n}\,\dfrac{T_n - g(\theta)}{\sigma(\theta)}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ , puis pour tout $\alpha\in ]0,1[$ , $P(|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2})\longrightarrow 1-\alpha$ .
3
Je traduis l'encadrement $|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2}$ en $|T_n - g(\theta)|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma(\theta)}{\sqrt{n}}$ et je remplace $\sigma(\theta)$ par un majorant ou un estimateur convergent si besoin.
4
Je conclus : $\left[T_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma_n}{\sqrt{n}},\; T_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma_n}{\sqrt{n}}\right]$ est un intervalle de confiance asymptotique de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ .
Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_i)$ un $n$ -échantillon i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Construire un IC asymptotique de $g(\lambda) = 1/\lambda$ au niveau $1-\alpha$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses du TLC :

(X_1,\dots,X_n)

i.i.d. d'espérance

g(\theta)

et d'écart-type

\sigma(\theta)>0

finis, et

T_n = \overline{X}_n

Les $X_i$ sont i.i.d. d'espérance $1/\lambda$ et d'écart-type $1/\lambda > 0$ ; on pose $T_n = \overline{X}_n$ .

Étape 2 —

J'écris la conclusion du TLC :

Z_n = \sqrt{n}\,\dfrac{T_n - g(\theta)}{\sigma(\theta)}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

, puis pour tout

\alpha\in ]0,1[

P(|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2})\longrightarrow 1-\alpha

Le TLC donne $\sqrt{n}\,\dfrac{\overline{X}_n - 1/\lambda}{1/\lambda}\xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ donc $P(|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2})\to 1-\alpha$ .

Étape 3 —

Je traduis l'encadrement

|Z_n|\leq u_{1-\alpha/2}

|T_n - g(\theta)|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma(\theta)}{\sqrt{n}}

et je remplace

\sigma(\theta)

par un majorant ou un estimateur convergent si besoin.

On traduit en $|\overline{X}_n - 1/\lambda|\leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{1/\lambda}{\sqrt{n}}$ et on remplace $1/\lambda$ par son estimateur convergent $\overline{X}_n$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\left[T_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma_n}{\sqrt{n}},\; T_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma_n}{\sqrt{n}}\right]

est un intervalle de confiance asymptotique de

g(\theta)

au niveau

1-\alpha

IC asymptotique : $\left[\overline{X}_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\overline{X}_n}{\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\overline{X}_n}{\sqrt{n}}\right] = \overline{X}_n\left[1\pm \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\right]$ .

$\mathrm{IC}_{1-\alpha}^{\mathrm{asymp}}(1/\lambda) = \overline{X}_n\left[1 - \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}},\; 1 + \dfrac{u_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\right]$ .

Application guidée

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Construire un IC asymptotique de $\lambda$ au niveau $1-\alpha$ .

Application autonome 1

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ , $p\in ]0,1[$ . Retrouver l'IC asymptotique de $p$ en majorant $p(1-p)\leq 1/4$ .

Application autonome 2

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma$ connu. En utilisant $\dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ , construire un intervalle de confiance à $99\%$ pour $\mu$ .

Application autonome 3

Soit $(X_i)$ i.i.d. d'espérance $\theta$ et variance $\theta$ (par exemple loi de Poisson). Construire à l'aide du TLC un intervalle asymptotique de confiance à $95\%$ pour $\theta$ .

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En identifiant (Tn−g(θ))/σn(θ)→LN(0,1)(T_n - g(\theta))/\sigma_n(\theta) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)(Tn​−g(θ))/σn​(θ)L​N(0,1) puis en inversant l'encadrement gaussien

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant $(T_n - g(\theta))/\sigma_n(\theta) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ puis en inversant l'encadrement gaussien