Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ? | MetMat

Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ?

En appliquant $V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , qui se simplifie si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes

Calculer la variance d'une somme finie de variables aléatoires, avec ou sans indépendance.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ . Calculer $V(S_n)$ où $S_n=X_1+\cdots+X_n$ .

L'objectif

Calculer la variance d'une somme finie de variables aléatoires, avec ou sans indépendance.

Le principe

Si $X_1,\ldots,X_n$ admettent une variance, alors $V\!\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)=\sum_{k=1}^n V(X_k)+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , et si de plus les $X_k$ sont deux à deux indépendantes (ou seulement deux à deux non corrélées), alors $V\!\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)=\sum_{k=1}^n V(X_k)$ .

La méthode

1
Je vérifie que chaque $X_k$ admet une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ .
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
2
J'applique la formule générale $V(\sum_k X_k)=\sum_k V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , issue de la bilinéarité de la covariance.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
3
Si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes (ou non corrélées), les $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ pour $i\neq j$ sont nulles et il reste $V(\sum_k X_k)=\sum_k V(X_k)$ .
4
Sinon, je calcule explicitement chaque covariance $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ et je somme pour conclure.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ . Calculer $V(S_n)$ où $S_n=X_1+\cdots+X_n$ .

Étape 1 —

Je vérifie que chaque

X_k

admet une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances

\mathrm{Cov}(X_i,X_j)

Les $X_k$ sont bornées donc admettent une variance : $V(X_k)=p(1-p)$ .

Étape 2 —

J'applique la formule générale

V(\sum_k X_k)=\sum_k V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)

, issue de la bilinéarité de la covariance.

Par la formule générale, $V(S_n)=\sum_{k=1}^n V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ .

Étape 3 —

Si les

X_k

sont deux à deux indépendantes (ou non corrélées), les

\mathrm{Cov}(X_i,X_j)

pour

i\neq j

sont nulles et il reste

V(\sum_k X_k)=\sum_k V(X_k)

Les $X_k$ étant i.i.d., elles sont mutuellement indépendantes, donc deux à deux indépendantes : toutes les covariances croisées sont nulles.

Étape 4 —

Sinon, je calcule explicitement chaque covariance

\mathrm{Cov}(X_i,X_j)

et je somme pour conclure.

Il reste $V(S_n)=n\,p(1-p)$ , ce qui redonne la variance d'une loi $\mathcal{B}(n,p)$ .

$V(S_n)=np(1-p)$ .

Application guidée

Soient $X,Y$ deux variables admettant une variance, avec $V(X)=4$ , $V(Y)=9$ et $\mathrm{Cov}(X,Y)=-2$ . Calculer $V(X+Y)$ et $V(X-Y)$ .

Application autonome 1

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de même loi, admettant une variance $\sigma^2$ . Calculer $V(\bar X_n)$ où $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$ .

Application autonome 2

Soient $X_1,X_2,X_3$ trois variables avec $V(X_k)=1$ pour tout $k$ et $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\rho$ pour tous $i\neq j$ . Calculer $V(X_1+X_2+X_3)$ .

Application autonome 3

Soient $X, Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 9$ . Calculer $V(X + Y)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant V(∑Xk)=∑V(Xk)+2∑i<jCov(Xi,Xj)V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)V(∑Xk​)=∑V(Xk​)+2∑i<j​Cov(Xi​,Xj​), qui se simplifie si les XkX_kXk​ sont deux à deux indépendantes

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , qui se simplifie si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes