En écrivant la solution générale puis en déterminant les constantes via la condition initiale

L'objectif

Trouver l'unique fonction $t\mapsto X(t)$ solution de $X'=AX$ avec $X(t_0)=X_0$ , lorsque $A$ est diagonalisable de taille 2 ou 3.

Le principe

Le théorème de Cauchy (admis au BO) garantit l'existence et l'unicité d'une solution de $X'=AX$ avec $X(t_0)=X_0$ ; pratiquement on écrit $X(t)=\sum c_i e^{\lambda_i t}V_i$ et on impose $X(t_0)=X_0$ , ce qui donne un système linéaire en $(c_1,\dots,c_n)$ .

La méthode

1
Je résous d'abord le système homogène $X'=AX$ par diagonalisation : j'écris la solution générale $X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i$ avec $c_1,\dots,c_n\in\mathbb{R}$ .
Comment résoudre $X'=AX$ lorsque $A$ est diagonalisable (taille 2 ou 3) ?Voir
2
J'écris la condition initiale $X(t_0)=X_0$ , ce qui donne $\sum c_i e^{\lambda_i t_0}V_i=X_0$ , soit un système linéaire en $(c_1,\dots,c_n)$ que je résous.
3
Je substitue les valeurs trouvées pour obtenir l'unique solution $X(t)$ du problème de Cauchy.

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Application guidée 1

Résoudre le problème de Cauchy $X'=AX$ , $X(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ , avec $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Résoudre $X'=AX$ , $X(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , avec $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Modèle de population : on considère $\begin{cases} N_1'(t)=-N_1(t)+N_2(t) \\ N_2'(t)=2N_1(t)-2N_2(t) \end{cases}$ avec $(N_1(0),N_2(0))=(3,0)$ .

Application autonome 2

Résoudre $X' = AX$ avec $X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Résoudre $X' = AX$ avec $X(0) = \binom{1}{1}$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

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