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Comment étudier la monotonie de (un)(u_n) avec ff croissante ?

En comparant u1u_1 à u0u_0 puis en propageant la monotonie par récurrence

L'objectif

Démontrer que la suite (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) est monotone lorsque ff est croissante sur un intervalle stable.

Le principe

Si ff est croissante sur un intervalle II stable par ff et que u0∈Iu_0 \in I, alors la fonction conserve l'ordre : u1≥u0⇒(un)u_1 \geq u_0 \Rightarrow (u_n) croissante, u1≤u0⇒(un)u_1 \leq u_0 \Rightarrow (u_n) décroissante.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie les hypothèses : ff est croissante sur un intervalle II stable par ff contenant u0u_0 (ce qui assure un∈Iu_n \in I pour tout nn).
    Voir
  2. 2
    Je calcule u1=f(u0)u_1 = f(u_0) et je compare u1u_1 à u0u_0 pour déterminer le sens présumé de la monotonie.
  3. 3
    Je démontre par récurrence sur nn que un+1≥unu_{n+1} \geq u_n (resp. ≤\leq), en utilisant la croissance de ff : un+1≥un⇒f(un+1)≥f(un)u_{n+1} \geq u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) \geq f(u_n), soit un+2≥un+1u_{n+2} \geq u_{n+1}.
  4. 4
    Je conclus que (un)(u_n) est monotone (croissante ou décroissante selon le signe de u1−u0u_1 - u_0).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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