En montrant par récurrence que $u_n$ reste dans un intervalle stable par $f$

L'objectif

Démontrer qu'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ est bornée en piégeant ses termes dans un intervalle stable par $f$ .

Le principe

Si $u_0 \in I$ et si $I$ est stable par $f$ , alors par récurrence immédiate $u_n \in I$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ; si de plus $I$ est borné, alors $(u_n)$ est bornée.

La méthode

1
Je détermine un intervalle borné $I = [a, b]$ stable par $f$ contenant $u_0$ (souvent en étudiant les variations de $f$ ).
Comment montrer qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ ?Voir
2
Je vérifie l'initialisation : $u_0 \in I$ .
3
Hérédité : je suppose $u_n \in I$ ; comme $I$ est stable par $f$ , $u_{n+1} = f(u_n) \in I$ .
4
Je conclus par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $a \leq u_n \leq b$ , donc $(u_n)$ est bornée.

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Application guidée 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Application guidée 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1/2$ et $u_{n+1} = \mathrm{e}^{-u_n}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n + 1} = \dfrac{u_n + 6}{u_n + 2}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n + 1} = \dfrac{u_n^2 + 1}{2u_n}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

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En montrant par récurrence que unu_nun​ reste dans un intervalle stable par fff

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En montrant par récurrence que $u_n$ reste dans un intervalle stable par $f$