Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ? | MetMat

Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?

En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et discuter la pertinence d'un ajustement affine entre $x$ et $y$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Avec les données budget/CA $(2,30)$ , $(4,42)$ , $(6,50)$ , $(8,58)$ ( $\bar{x}=5$ , $\bar{y}=45$ , $s_{xy}=23$ ), calculer $r_{xy}$ .

L'objectif

Calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et discuter la pertinence d'un ajustement affine entre $x$ et $y$ .

Le principe

Pour deux séries $x$ et $y$ d'écarts-types $s_x>0$ et $s_y>0$ , $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}\in[-1,1]$ ; $|r_{xy}|=1$ équivaut à l'alignement parfait du nuage sur une droite (croissante si $r_{xy}=1$ , décroissante si $r_{xy}=-1$ ).

La méthode

1
Je calcule la covariance $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$ et les variances $s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2$ , $s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar{y}^2$ par Koenig-Huygens.
Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ?Voir
2
Je vérifie que $s_x>0$ et $s_y>0$ , puis je calcule $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ .
3
J'interprète $|r_{xy}|$ : proche de $1$ (par exemple $\ge 0{,}9$ ), l'ajustement affine est pertinent ; proche de $0$ , il n'y a pas de liaison linéaire significative. Le signe de $r_{xy}$ indique le sens : positif pour une tendance croissante, négatif pour une tendance décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Avec les données budget/CA $(2,30)$ , $(4,42)$ , $(6,50)$ , $(8,58)$ ( $\bar{x}=5$ , $\bar{y}=45$ , $s_{xy}=23$ ), calculer $r_{xy}$ .

Étape 1 —

Je calcule la covariance

s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}

et les variances

s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2

s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar{y}^2

par Koenig-Huygens.

$\sum x_i^2=4+16+36+64=120$ donc $s_x^2=\frac{120}{4}-25=5$ . $\sum y_i^2=900+1764+2500+3364=8528$ donc $s_y^2=\frac{8528}{4}-2025=2132-2025=107$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

s_x>0

s_y>0

, puis je calcule

r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}

$s_x=\sqrt{5}$ et $s_y=\sqrt{107}$ , tous deux strictement positifs. Donc $r_{xy}=\dfrac{23}{\sqrt{5}\sqrt{107}}=\dfrac{23}{\sqrt{535}}\approx\dfrac{23}{23{,}13}\approx 0{,}994$ .

Étape 3 —

J'interprète

|r_{xy}|

: proche de

1

(par exemple

\ge 0{,}9

), l'ajustement affine est pertinent ; proche de

0

, il n'y a pas de liaison linéaire significative. Le signe de

r_{xy}

indique le sens : positif pour une tendance croissante, négatif pour une tendance décroissante.

$r_{xy}\approx 0{,}994$ est très proche de $1$ : forte corrélation linéaire positive, ajustement affine pleinement pertinent.

$r_{xy}\approx 0{,}994$ , ajustement linéaire excellent.

Application guidée

Avec les données croissance/chômage $(1;0{,}5)$ , $(2;0{,}1)$ , $(3;-0{,}3)$ , $(4;-0{,}7)$ , $(5;-1{,}1)$ ( $\bar{x}=3$ , $\bar{y}=-0{,}3$ , $s_{xy}=-0{,}8$ ), calculer $r_{xy}$ .

Application autonome 1

Pour 4 individus, on observe la taille $x_i$ (cm) et le score à un test de logique $y_i$ : $(160,12)$ , $(170,11)$ , $(180,13)$ , $(190,12)$ . Calculer $r_{xy}$ et conclure.

Application autonome 2

On observe pour 4 pays le taux de chômage $x_i$ (%) et le taux d'inflation $y_i$ (%) : $(5, 1)$ , $(7, 2)$ , $(9, 3)$ , $(11, 4)$ . Calculer $r_{xy}$ .

Application autonome 3

Pour 5 étudiants, on relève le temps de révision $x_i$ (h) et la note obtenue $y_i$ (/20) : $(2, 8)$ , $(4, 11)$ , $(6, 13)$ , $(8, 17)$ , $(10, 16)$ . Calculer $r_{xy}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant rxy=sxysxsyr_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}rxy​=sx​sy​sxy​​ et en interprétant sa valeur dans [−1,1][-1,1][−1,1]

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$